环

陈述

设 $A$ 是集合，$+$ 与 $\cdot$ 是 $A$ 上的两个二元运算。称 $(A, +, \cdot)$ 是一个环，当且仅当：

• $(A, +)$ 是阿贝尔群；
• $(A, \cdot)$ 满足结合律（不要求单位元，也不要求交换）；
• 分配律 $a(b + c) = ab + ac$、$(a + b)c = ac + bc$ 成立。

乘法还交换的环叫交换环；再要求有乘法单位元 $1 \ne 0$ 的环叫含幺环。