环的局部化 W⁻¹R

环的局部化（Localization of a Ring）

prop.ring-localization · 代数 · 环 · 局部化 · 分式 · 乘性子集

又称环的局部化·W^{-1}R·乘性子集·分式环·localization of a ring

陈述

设 RR 是交换环，W⊆RW \subseteq R 是乘性子集（1∈W1 \in W，且 f,g∈W  ⟹  fg∈Wf, g \in W \implies fg \in W）。

把 RR 看作单对象范畴：唯一对象 ∗\ast，Hom⁡(∗,∗)=R\operatorname{Hom}(\ast, \ast) = R，复合就是乘法。它关于 WW 的局部化记作

W−1R,W^{-1}R,

元素写成分式 r/wr/w（r∈Rr \in R、w∈Ww \in W）。

说明

⭐ 这就是范畴局部化最熟悉的一个例子。 「把 WW 里的元素变成可逆元」这句话，在单对象范畴里就是「把 WW 里的态射变成同构」—— 和第「局部化」那条定义是同一件事。

等价关系：分式之间按

r/w=r′/w′  ⟺  ∃s∈W,s (rw′−r′w)=0r/w = r'/w' \iff \exists s \in W,\quad s\,(rw' - r'w) = 0

相等（那个 ss 是必要的：WW 里可能有零因子，不加 ss 会出错）。运算是通常的分数运算 r/w+r′/w′=(rw′+r′w)/(ww′)r/w + r'/w' = (rw' + r'w)/(ww')、(r/w)(r′/w′)=rr′/(ww′)(r/w)(r'/w') = rr'/(ww') —— 分母乘起来还在 WW 里，这正是乘性子集这个条件的用处。

两个标准例子：R=ZR = \mathbb{Z}、W=Z∖{0}W = \mathbb{Z} \setminus \{0\} 给出 Q\mathbb{Q}；RR 一般、W={fn:n≥0}W = \{f^{n} : n \ge 0\} 给出「在 ff 处局部化」，把 ff 变成可逆元。

⭐ 为什么要求 WW 乘性封闭：不封闭的话分式之间没法相乘（分母不落在 WW 里），局部化的泛性质（它是「使 WW 中元素可逆」的最一般的环）就构造不出来。

谁指向它（入边）

定义引用 2

参考

常见问法 1 条

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