代数的几个范畴

$\mathrm{Mon}$ 、 $\mathrm{Gr}$ 、 $\mathrm{Rng}$ 、 $G\text{-}\mathbf{Set}$ 、 $A\text{-}\mathbf{Mod}$ 、 $k\text{-}\mathbf{Alg}$

例
依赖深度 layer 15
抽象代数
范畴论
代数结构

ex.algebra-categories · 代数 · 范畴 · 幺半群 · 环 · 模 · 代数

又称代数的范畴·Mon·Gr·Rng·G-Set·A-Mod·k-Alg·Exercise 1.1

陈述

常用的代数范畴（对象 + 保结构映射）：

$\mathrm{Mon}$ ：幺半群；
$\mathrm{Gr}$ （也写 $\mathbf{Grp}$ ）：群；
$\mathrm{Rng}$ ：环；
$G\text{-}\mathbf{Set}$ ： $G$ -集（带 $G$ 作用的集合）；
$A\text{-}\mathbf{Mod}$ ： $A$ -模；
$k\text{-}\mathbf{Alg}$ ： $k$ -代数（ $k$ 交换环）。

说明

⭐ 它们的共同点：全都是「集合 + 运算 + 公理」，只是运算的元数与公理的条数不同。所以关于它们的定理几乎逐字通用（极限逐点算、遗忘函子保所有极限、自由对象是左伴随……）。

两个特殊的： $G\text{-}\mathbf{Set}$ 是函子范畴（ $G$ 看成单对象范畴， $G$ -集就是 $G \to \mathbf{Set}$ 的函子， $G$ -映射就是自然变换）； $A\text{-}\mathbf{Mod}$ 是同调代数的样板间。

谁指向它（入边）

定义引用 3

群对象与阿贝尔群对象 → 本页定义引用

$\mathrm{Mon}$ 、 $\mathrm{Gr}$ 就是范畴里的代数结构在 $\mathbf{Set}$ 上的样子。
环 → 本页定义引用

$\mathrm{Rng}$ 、 $k\text{-}\mathbf{Alg}$ 是环与它上面的代数。
模 → 本页定义引用

$A\text{-}\mathbf{Mod}$ 是模的范畴。

参考

Lang, Algebra

同一星团的其他概念 17 个

继续

在星图里打开「代数的几个范畴」　·　全部 709 个概念　·　 Markdown 原文　·　读图指南与记号表