商群

商群（Quotient Group）

def.quotient-group · 代数 · 群 · 商群 · 商集

又称商群·quotient group·G/N·商映射

陈述

设 N⊴GN \trianglelefteq G。全体左陪集 { gN:g∈G }\{\, gN : g \in G \,\} 记作 G/NG/N，在上面定义

(gN)⋅(g′N):=(gg′)N.(g N) \cdot (g' N) := (g g') N.

正规性保证这个定义与代表元的选取无关，于是 G/NG/N 成为一个群，叫商群。

自然映射 π:G→G/N\pi : G \to G/N，g↦gNg \mapsto gN，是满同态。

说明

商群就是集合层面的商集再往上一层：先在 GG 上用等价关系「差一个 NN 的元素」商掉，再验证商集上还残留着一个运算。

泛性质（商群真正的用处）：对任何群同态 φ:G→G′\varphi : G \to G'，若 N⊆ker⁡φN \subseteq \ker\varphi，则 φ\varphi 唯一地穿过 π\pi：存在唯一的 φ‾:G/N→G′\overline{\varphi} : G/N \to G' 使 φ‾∘π=φ\overline{\varphi} \circ \pi = \varphi。

⚠️ 商群只对正规子群有；商集 G/HG/H 对任何子群都有（左陪集照样划分 GG），但那个商集上一般没有群结构。

它指向谁（出边）

定义引用 4

谁指向它（入边）

定义引用 3

参考

常见问法 2 条

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