正规子群

正规子群与陪集（Normal Subgroup）

def.normal-subgroup · 代数 · 群 · 正规子群 · 陪集

又称正规子群·normal subgroup·陪集·coset

陈述

设 H≤GH \le G，g∈Gg \in G。左陪集与右陪集分别是

gH:={ gh:h∈H },Hg:={ hg:h∈H }.gH := \{\, gh : h \in H \,\}, \qquad Hg := \{\, hg : h \in H \,\}.

称 HH 是 GG 的正规子群（记 H⊴GH \trianglelefteq G），如果对一切 g∈Gg \in G 有 gH=HggH = Hg，等价地 gHg−1=HgHg^{-1} = H。

说明

⭐ 为什么要正规。 陪集 gHgH 是集合，想用「gH⋅g′H:=gg′HgH \cdot g'H := gg'H」把商集变成群，就必须让这个定义与代表元的选取无关。算一下差在哪儿：

(gh)(g′h′)=gg′⋅((g′)−1hg′)h′,(g h)(g' h') = g g' \cdot \bigl((g')^{-1} h g'\bigr) h',

最右边那个括号里的 (g′)−1hg′(g')^{-1} h g' 得还在 HH 里才行 —— 「HH 对共轭封闭」正是正规性。阿贝尔群里每个子群都正规（共轭不动），所以在阿贝尔群里这一步永远不碍事。

陪集是一条等价关系。 定义 a∼b  ⟺  a−1b∈Ha \sim b \iff a^{-1} b \in H，则等价类恰好是左陪集，全体左陪集划分 GG —— 这就是下面商群要用的商集。

记号：H≤GH \le G 表示子群，H⊴GH \trianglelefteq G 表示正规子群（⊴\trianglelefteq 读作「正规于」）。

它指向谁（出边）

定义引用 4

谁指向它（入边）

定义引用 1

参考

常见问法 2 条

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