模

模与模同态（Module）

定义
依赖深度 layer 8
抽象代数
代数结构

def.module · 代数 · 模 · 环 · 同态

又称模·module·模同态·A-Mod

陈述

设 $A$ 是含幺环、 $M$ 是阿贝尔群。称 $M$ 是一个 $A$ -模，如果给定了一个映射

A \times M \longrightarrow M, \qquad (a, m) \longmapsto a \cdot m,

满足 $a(bm) = (ab)m$ 、 $(a + b)m = am + bm$ 、 $a(m + n) = am + an$ 、 $1 \cdot m = m$ 。

保持这个作用的加法群同态叫 $A$ -模同态： $f(am) = a f(m)$ 。全体 $A$ -模与模同态构成范畴 $A\text{-}\mathbf{Mod}$ 。

说明

⭐ 模 = 阿贝尔群 + 环作用，所以它同时是「群」和「环」两边的孩子： $\mathbb{Z}$ -模就是阿贝尔群（ $n \cdot m$ 只能有一种定义）；域上的模就是向量空间。这两句话把「模」放在已知例子的中点。

$A\text{-}\mathbf{Mod}$ 为什么是同调代数的样板间：它同时是

阿贝尔范畴（有核、余核，单满态射全部严格）；
具有足够多内射对象（每个模都嵌进内射模）；
具有足够多投射对象（自由模都是投射的）；
Grothendieck 范畴（有生成元 $A$ 自己，滤过余极限正合）。

所以「在 $A\text{-}\mathbf{Mod}$ 里能做的」，就是同调代数想推广到一般范畴的东西。其余范畴能做的事情，都以它为标尺。

它指向谁（出边）

定义引用 3

张量积对双线性映射万有用到本页定义引用

张量积是模上的构造。
Freyd–Mitchell 嵌入定理用到本页定义引用

嵌入的靶是模范畴 $A\text{-}\mathbf{Mod}$ 。
代数的几个范畴用到本页定义引用

$A\text{-}\mathbf{Mod}$ 是模的范畴。

谁指向它（入边）

定义引用 2

群 → 本页定义引用

模的底是一个阿贝尔群。
环 → 本页定义引用

模是环在阿贝尔群上的作用。

参考

Lang, Algebra

常见问法 2 条

什么是模也看环、加法 / 阿贝尔范畴
Freyd-Mitchell 是什么也看 Freyd–Mitchell 嵌入定理、加法 / 阿贝尔范畴

同一星团的其他概念 17 个

继续

在星图里打开「模」　·　全部 709 个概念　·　 Markdown 原文　·　 English entry　·　读图指南与记号表