加法 / 阿贝尔范畴

加法范畴与阿贝尔范畴（Additive / Abelian Category）

定义
依赖深度 layer 16
同调代数
加法与阿贝尔范畴

def.abelian-category · 同调代数 · 阿贝尔范畴 · 加法范畴

又称预加法范畴·加法范畴·预阿贝尔范畴·阿贝尔范畴·Ab-范畴·Definition 5.1.1·Definition 5.1.4·Definition 5.2.1·Definition 5.2.2·Exercise 5.8

图外条目Wikipedia ↗·nLab ↗

陈述

预加法范畴（ $\mathbf{Ab}$ -范畴）是每个 $\operatorname{Hom}$ 集都带有阿贝尔群结构、且复合双线性的范畴；
零对象是 $\operatorname{End}(M) = 1$ （即 $1_{M} = 0_{M}$ ）的对象；对象 $M$ 是 $M_{1}, M_{2}$ 的直和 $M = M_{1} \oplus M_{2}$ ，如果存在 $p_{k} : M \to M_{k}$ 、 $i_{k} : M_{k} \to M$ 使 $p_{1} i_{1} = 1$ 、 $p_{2} i_{2} = 1$ 、 $i_{1} p_{1} + i_{2} p_{2} = 1_{M}$ ；
加法范畴是有零对象与所有直和的预加法范畴（等价地：所有有限积、或所有有限余积存在，此时二者存在且相等）；
预阿贝尔范畴是每个态射都有核与余核的加法范畴（等价地：所有有限极限与有限余极限存在）；
阿贝尔范畴是满足下列等价条件之一的预阿贝尔范畴：

每个单态射都是正则的（对偶地每个满态射都是正则的）；
若 $i : N \rightarrowtail M$ 是单态射，则 $N \cong \ker\bigl(M \twoheadrightarrow \operatorname{coker}(i)\bigr)$ （对偶同理）；
每个态射都能（在相差一个同构的意义下唯一地）分解成满态射接单态射；
对每个 $f : M \to N$ 有 $\ker\bigl(N \to \operatorname{coker} f\bigr) \cong \operatorname{coker}\bigl(\ker f \to M\bigr)$ 。

说明

在阿贝尔范畴里，人们习惯说单射 / 满射而不说单态射 / 满态射 —— 因为第 1 条保证了「正则的」与「可消的」是一回事。

例： $A\text{-}\mathbf{Mod}$ 是阿贝尔范畴；拓扑斯上的 $\mathbf{Ab}(\mathcal{T})$ 也是； $\mathbf{AbCHaus}$ 也是。而 $\mathbf{AbTop}$ 不是（ $\mathbb{Z}^{\mathrm{disc}} \to \mathbb{Z}^{\mathrm{coarse}}$ 这个恒等映射不严格）， $\mathbf{AbHaus}$ 也不是。

阿贝尔范畴是整套同调代数的工作环境：有核有余核，「正合列」才说得出口；而加法范畴只提供加法的骨架（零对象与直和）。

English draft

Translation of the statement above · machine-drafted, pending author review · the Chinese text is authoritative.

Abstract

The ladder of definitions runs $\text{preadditive} \to \text{zero object} \to \text{direct sums} \to \text{additive} \to \text{preabelian} \to \text{abelian}$ , where preadditive means $\mathbf{Ab}$ -enriched with bilinear composition, preabelian means that kernels and cokernels exist, and abelian means any one of four equivalent conditions: every monomorphism is regular; $N \cong \ker(M \to \operatorname{coker} i)$ for $i : N \rightarrowtail M$ ; every map factors uniquely as an epimorphism followed by a monomorphism; $\ker(N \to \operatorname{coker} f) \cong \operatorname{coker}(\ker f \to M)$ . Abelian categories are the working environment of homological algebra — exactness needs kernels and cokernels. $A\text{-}\mathbf{Mod}$ and $\mathbf{Ab}(\mathcal{T})$ for a topos are abelian; $\mathbf{AbTop}$ is not.

它指向谁（出边）

定义引用 14

零对象与终对象用到本页定义引用

命题的前提「预加性范畴」是这条定义里的第一条。
直和就是积用到本页定义引用

直和的定义（ $p_{k}i_{k} = 1$ 、 $i_{1}p_{1}+i_{2}p_{2} = 1$ ）与预加性都在这条定义里。
预加性结构唯一用到本页定义引用

唯一性说的就是这条定义里「每个 $\operatorname{Hom}$ 带阿贝尔群结构且复合双线性」那部分。
正合列构成子范畴用到本页定义引用

核与像的良好行为、以及与有限双积交换都来自阿贝尔范畴。
复形范畴是阿贝尔范畴用到本页定义引用

结论是「复形范畴满足阿贝尔范畴的定义」。
同调的两条正合列用到本页定义引用

核、像、余核与正合都在阿贝尔范畴里说。
像就是余核的核用到本页定义引用

「每个态射都严格」只在阿贝尔范畴里成立。
子范畴继承加法与阿贝尔性用到本页定义引用

结论是「 $\mathcal{C}$ 也加法 / 阿贝尔」。
拓扑斯上的阿贝尔群是 Grothendieck 范畴用到本页定义引用

结论的一部分是「 $\mathcal{T}(\mathbf{Ab})$ 是阿贝尔范畴」。
Grothendieck 的 AB 公理用到本页定义引用

AB1 = 预阿贝尔、AB2 = 阿贝尔 —— 前两条就是这两个词。
局部紧阿贝尔群不是阿贝尔范畴用到本页定义引用

结论是「预阿贝尔但不是阿贝尔范畴」。
Freyd–Mitchell 嵌入定理用到本页定义引用

定理说的是小阿贝尔范畴。
蛇引理用到本页定义引用

蛇引理在阿贝尔范畴里说。
五引理用到本页定义引用

五引理在阿贝尔范畴里说。

谁指向它（入边）

定义引用 5

纤维积 / 纤维余积 → 本页定义引用

「直和 $M_{1} \oplus M_{2}$ 」的定义用的是 $p_{k} i_{k} = 1$ 、 $i_{1}p_{1} + i_{2}p_{2} = 1_{M}$ —— 有限积与有限余积重合。
等化子 / 余等化子 → 本页定义引用

预阿贝尔范畴说的是「每个态射都有核与余核」，阿贝尔范畴再加「单满都正则」。
单态射 / 满态射 / 同构 → 本页定义引用

阿贝尔范畴的判据之一：每个单态射都是正则的。
像 / 余像 → 本页定义引用

等价条件之一说的是「 $\ker(N \to \operatorname{coker} f)\cong\operatorname{coker}(\ker f\to M)$ 」—— 像与余像重合。
上链复形 → 本页定义引用

复形定义在加法范畴上，同调定义在阿贝尔范畴上。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §5.1–5.2

常见问法 4 条

什么是平坦对象也看平坦阿贝尔层、阿贝尔层的张量积
什么是模也看模、环
Freyd-Mitchell 是什么也看 Freyd–Mitchell 嵌入定理、模
什么是五引理也看五引理、蛇引理

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