加法函子

加法函子（Additive Functor）

def.additive-functor · 同调代数 · 加法函子 · 预加性 · 直和

又称加法函子·additive functor·Definition 5.1.2·Def 5.1.2

陈述

设 $\mathcal{C}, \mathcal{D}$ 是两个预加性范畴。函子 $F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ 叫加法函子，如果对每对 $M, N \in \mathcal{C}$ ，映射

\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(M, N) \longrightarrow \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(F(M), F(N)), \qquad f \longmapsto F(f)

是阿贝尔群同态（即保加法、保 $0$ ）。

等价说法：加法函子自动保有限直和（ $F(M \oplus N) \cong F(M) \oplus F(N)$ ），而且 $F(0) = 0$ 。反过来，一个保有限直和的函子（在预加性范畴之间）也是加法的。

⭐ 为什么同调代数只谈加法函子：求导函子、 $\operatorname{Ext}$ 、 $H^{n}$ 都是加法的。复形上的运算（ $d^{2}=0$ 、取同调、映射锥）每一步都是加减法，非加法函子连复形都送不成复形。

例子： $\operatorname{Hom}(X, -)$ 是加法的（ $\operatorname{Hom}$ 本身是阿贝尔群）； $M \otimes_{A} -$ 是加法的；遗忘函子 $A\text{-}\mathbf{Mod} \to \mathbf{Ab}$ 是加法的。

⚠️ 「加法」与「左正合/右正合」是两件事：加法只是保群结构，正合才是保核与余核。加法是前提，正合是进一步的条件。