加法函子的刻画

说明

证明。 ① 加法 $\implies$ 保双积。 $F$ 加法意味着每个 $\operatorname{Hom}(M,N) \to \operatorname{Hom}(FM,FN)$ 是群同态。若 $M$ 是 $M_{1},M_{2}$ 的双积，$F$ 把三条等式送到

这正是「$F(M)$ 是 $F(M_{1}), F(M_{2})$ 的双积」的定义 ✓；有限多支同理。零对象：$1_{F(0)} = F(1_{0}) = F(0_{0}) = 0_{F(0)}$（群同态把零元送到零元），故 $F(0)$ 是零对象 ✓。 ② 保双积与零对象 $\implies$ 加法。 用上面的关键公式 $f + g = \nabla_{N}(f\oplus g)\Delta_{M}$。$F$ 保积、保余积，故 $F(\Delta_{M}) = \Delta_{FM}$、$F(\nabla_{N}) = \nabla_{FN}$（这三个映射都由「与投影 / 含入复合是什么」唯一刻画，而 $F$ 保投影与含入），且 $F(f \oplus g) = Ff \oplus Fg$（由四角刻画同样唯一）。于是

故 $\operatorname{Hom}(M,N) \to \operatorname{Hom}(FM,FN)$ 保加法；它当然保零，所以是群同态，即 $F$ 加法 ✓。 ③ 有限积 / 有限余积：加法范畴里有限积、有限余积、直和三者重合（见「直和就是积」），所以三个条件说的是同一件事；空积是终对象、空余积是始对象，都是零对象 ✓。∎

⭐ 实用价值：验一个函子加法，只需验它保双积，不必去碰 $\operatorname{Hom}$ 上的群结构。