AB 公理的例子表

说明

怎么读这张表：从下往上，公理越往上越强（AB1 < AB2 < AB3 < AB4 < AB5 < AB6）。表里最有意思的两个对照：

• $\mathbf{AbTop}$ 只到 AB1 —— 连 AB2 都不满足。理由是「态射不必严格」（存在单态射不是核的情形），所以它连阿贝尔范畴都不是，做不了同调代数。这正是要把拓扑群搬进凝聚态那侧的理由。- $\mathbf{Ab}(\mathcal{T})$ 停在 AB5，而 $\mathrm{CondAb}$ 能上到 AB6 —— 多出来的正是「滤过余极限与积交换」与「积正合」。凝聚态数学在一般拓扑斯之上额外拿到的，就是这两条。

⭐ 表里 $\mathbf{AbCHaus} \simeq \mathbf{Ab}^{\mathrm{op}}$ 那一行是把 Pontryagin 对偶提升成范畴等价的结果：紧 Hausdorff 阿贝尔群的范畴反等价于离散阿贝尔群的范畴，于是它的公理等级就是 $\mathbf{Ab}$ 的对偶版本。