Grothendieck 范畴有足够多内射enough injectives

说明

⭐ 这是「右导出函子存在」的存在性保障。右导出函子 $R^{n}F$ 的标准定义是「取内射消解、施 $F$、取上同调」—— 而这个定义只有在内射消解总是存在的前提下才有意义。这条定理说：只要范畴是 Grothendieck 的，就不用担心。

「足够多」是什么意思：不是「有很多内射对象」，而是「每个对象都能嵌进某个内射对象里」。这个条件是关于范畴整体的，不能逐对象验证。

用在哪：$A\text{-}\mathbf{Mod}$、$\operatorname{Ind}(\mathcal{C})$、拓扑斯上的 $\mathbf{Ab}(\mathcal{T})$、$\mathrm{CondAb}$ —— 都是 Grothendieck 范畴，于是右导出函子、导出范畴、谱序列这一整套在它们上面全部可用。这就是 Grothendieck 那一代人挑出「AB5 + 生成元」这两条的全部理由。

📌 随定义而来的另一条（同章）：Grothendieck 范畴自动满足 AB3\*（有所有极限）—— 极限的存在性不用额外假设。

证明（超限迭代；Baer 判据的范畴版本）。 记 $\mathcal{A}$ 是带生成元 $U$ 的 AB5 范畴。

• 判据：$I$ 内射 $\iff$ 对每个单态射 $A\rightarrowtail B$ 与每个 $A\to I$，延拓 $B\to I$ 存在。因为 $U$ 是生成元，只需对子对象 $A\rightarrowtail U$ 验证（一般的 $B$ 用一族 $U\to B$ 铺开、逐块延拓再拼）。
• 第一步：$U$ 生成 $\implies$ 求值映射 $M\hookrightarrow U^{\operatorname{Hom}(U,M)}$ 是单态射（两个态射若在所有 $U\to M$ 上相同则相同），所以 $M$ 总能嵌进 $U$ 的一族积里。
• 第二步（补全延拓）：设 $M_{0} := M$。给定 $M_{\alpha}$，把所有「待延拓数据」$\bigl(A\rightarrowtail U,\ A\to M_{\alpha}\bigr)$ 一次性推出去 —— 令 $M_{\alpha+1}$ 是 $M_{\alpha}$ 与 $\coprod_{(A,\varphi)}U$ 沿 $\coprod_{(A,\varphi)}A$ 的推出。于是每个从 $U$ 的子对象出发的映射都能在 $M_{\alpha+1}$ 里延拓到整个 $U$ 上。
• 极限序数：取 $M_{\beta} := \varinjlim_{\alpha<\beta}M_{\alpha}$。$\mathcal{A}$ 是 AB5（滤过余极限正合），这一层层余极限保持单射与正合 ✓。
• 稳定：增量只依赖「$U$ 的子对象全体」这一集合（生成元 + AB5 保证它小），故足够大的序数之后 $M_{\alpha}\to M_{\alpha+1}$ 已是同构；稳定下来的 $I := M_{\infty}$ 满足判据，故内射 ✓。对 $M\hookrightarrow I$ 重复该过程即得内射消解。∎

标准出处：Freyd, Abelian Categories；另有一条更短的路线走 Gabriel–Popescu 嵌入（把 $\mathcal{A}$ 看成 $R\text{-}\mathbf{Mod}$ 的正合反射子范畴，再把 $R\text{-}\mathbf{Mod}$ 的内射对象反射过来）。