五引理

说明

证明走泛元，不追元素。 把「$x \in A_{3}$」读成「任给 $t : T \to A_{3}$」—— $t$ 就是 $A_{3}$ 的一个泛元。分两半：

• $\alpha_{3}$ 单：设 $\alpha_{3} t = 0$。由 $\alpha_{4} f_{3} t = g_{3} \alpha_{3} t = 0$ 与 $\alpha_{4}$ 单得 $f_{3} t = 0$，即 $t$ 穿过 $\operatorname{im} f_{2} = \ker f_{3}$：$t = f_{2} s$；再由 $g_{2} \alpha_{2} s = \alpha_{3} f_{2} s = 0$ 得 $\alpha_{2} s$ 穿过 $\operatorname{im} g_{1} = \ker g_{2}$，即 $\alpha_{2} s = g_{1} r'$，而 $\alpha_{1}$ 满给出 $r' = \alpha_{1} r$，于是 $\alpha_{2} s = g_{1} \alpha_{1} r = \alpha_{2} f_{1} r$，而 $\alpha_{2}$ 单，故 $s = f_{1} r$，于是 $t = f_{2} f_{1} r = 0$。
• $\alpha_{3}$ 满：任给 $y : T \to B_{3}$。由 $g_{4} g_{3} = 0$ 与 $\alpha_{5}$ 单得 $f_{4} \alpha_{4}^{-1} g_{3} y = 0$，故 $\alpha_{4}^{-1} g_{3} y$ 穿过 $\operatorname{im} f_{3} = \ker f_{4}$：$\alpha_{4}^{-1} g_{3} y = f_{3} x'$；于是 $g_{3}(y - \alpha_{3} x') = 0$，即 $y - \alpha_{3} x'$ 穿过 $\operatorname{im} g_{2} = \ker g_{3}$：$y - \alpha_{3} x' = g_{2} u = g_{2} \alpha_{2} x'' = \alpha_{3} f_{2} x''$，故 $y = \alpha_{3}(x' + f_{2} x'')$。

两步都只用「正合 = 核 = 像」这一条泛性质。∎

⭐ 推论（常用形式）：若图中的 $A_{1} = B_{1} = 0$、$A_{5} = B_{5} = 0$，则 $\alpha_{3}$ 是单（满 / 同构）由 $\alpha_{2}, \alpha_{4}$ 单（满 / 同构）决定 —— 这就是「比较长正合列」时最常引的那句：两头一样，中间就一样。

⚠️ 与蛇引理的关系：两者都不能靠追元素，都得走泛元与泛性质；区别在五引理只讲同构传递（不必造连接同态），蛇引理要造出 $\delta$。凡是「想比较两个谱序列/两条长正合列」的地方，用五引理。