像就是余核的核

说明

证明（两条基本事实：阿贝尔范畴里每个单态射都是它余核的核、每个满态射都是它核的余核）。 记 $m := \ker\bigl(N \to \operatorname{coker} f\bigr)$，它按定义是单态射 ✓。 （一）$f$ 穿过 $m$。 因为 $(\operatorname{coker} f) \circ f = 0$ ✓，而 $m$ 正是这个映射的核，所以 $f$ 唯一地分解为 $f = m \circ e$ ✓。 （二）$m$ 最小。 设 $f = m' \circ e'$ 是任意分解且 $m'$ 是单态射。因为 $(\operatorname{coker} m') \circ m' = 0$ ✓，得 $(\operatorname{coker} m') \circ f = 0$，于是由 $\operatorname{coker} f$ 的泛性质，$\operatorname{coker} m'$ 穿过 $\operatorname{coker} f$ ✓，特别地

再用「单态射 $m'$ 是它自己余核的核」：$m' = \ker(\operatorname{coker} m')$ ✓，于是 $m$ 唯一地穿过 $m'$ —— 即 $m$ 是「$f$ 能穿过的各种单态射」里最小的那个 ✓。 （一）（二）合起来，$m$ 连同分解 $f = m \circ e$ 正是像的泛性质 ✓，所以 $\operatorname{im} f = \ker(\operatorname{coker} f)$ ✓。 对偶地把箭头反过来（在 $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ 里做同一件事）即得余像那条 ✓。 （三）严格性。 由 (一) 的分解 $f = m \circ e$ 与它的对偶分解，$\operatorname{coim} f \to \operatorname{im} f$ 两边都是同一个中间对象，于是它是同构 ✓。∎

⭐ 这条把「像」从泛性定义（最小中间对象）换成可以算的公式：$\ker(\operatorname{coker} f)$。同调代数里凡是要「手工取像」的地方，用的都是这个公式。

⚠️ 阿贝尔这个前提不能省：一般范畴里 $\operatorname{coim} f \to \operatorname{im} f$ 未必同构（那种态射就不叫严格的了）。