正合列构成子范畴

命题：左 / 右 / 短正合列构成加法子范畴

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又称正合列构成加法子范畴·Exercise 5.6

陈述

设 C\mathcal{C} 是阿贝尔范畴，C3\mathcal{C}^{3} 是可复合的态射对构成的范畴（对象是 M′→M→M′′M' \to M \to M''，态射是三个分量相容的比较映射）。则左正合列、右正合列、短正合列各自构成 C3\mathcal{C}^{3} 的一个加法子范畴。

说明

证明。 ① 是（全）子范畴。 正合性是列本身的性质，与比较映射无关，所以「对象是左正合列」在恒等与复合下当然封闭 —— 它其实是 C3\mathcal{C}^{3} 的全子范畴 ✓。 ② 对有限双积封闭。 阿贝尔范畴里核与像都与有限双积交换：

ker⁡(f1⊕f2)=ker⁡f1⊕ker⁡f2,im⁡(f1⊕f2)=im⁡f1⊕im⁡f2✓\ker(f_{1}\oplus f_{2}) = \ker f_{1}\oplus\ker f_{2}, \qquad \operatorname{im}(f_{1}\oplus f_{2}) = \operatorname{im}f_{1}\oplus\operatorname{im}f_{2} ✓

（两者分别是有限极限与有限余极限，逐分量计算即可。）于是两条左正合列的双积仍左正合：

im⁡(d1n−1⊕d2n−1)=im⁡d1n−1⊕im⁡d2n−1=ker⁡d1n⊕ker⁡d2n=ker⁡(d1n⊕d2n)✓\operatorname{im}(d^{n-1}_{1}\oplus d^{n-1}_{2}) = \operatorname{im}d^{n-1}_{1}\oplus\operatorname{im}d^{n-1}_{2} = \ker d^{n}_{1}\oplus\ker d^{n}_{2} = \ker(d^{n}_{1}\oplus d^{n}_{2}) ✓

右正合对偶。短正合列再补一句：0→M′→M→M′′→00 \to M' \to M \to M'' \to 0 正合   ⟺  \iff 左端映射单、右端映射满、且 im⁡=ker⁡\operatorname{im} = \ker —— 这三条都被逐分量保持 ✓。零对象（三条零列）显然正合，充当双积的单位元 ✓。 于是这三族对象各自是 C3\mathcal{C}^{3} 的加法子范畴 ✓。∎

⭐ 这条的意义是把「取正合列」当成一个可以运算的对象：两个正合列能直和、能取核余核，得到的还在里面 —— 谱序列那一套（过滤复形、双复形）正是靠这种封闭性才写得出来。

谁指向它（入边）

定义引用 2

参考

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