左正合性的判据

说明

证明。 $(\Longrightarrow)$ 左正合就是保有限极限 ✓。保有限极限当然保有限积与核，于是：$F$ 保双积 $\implies$ $F$ 加法（见「加法函子的刻画」）✓；而左正合列 $0 \to M' \to M \to M''$ 本身就是一个有限极限图表，被 $F$ 送到同样的图表，即仍是左正合列 ✓。 $(\Longleftarrow)$ 设 $F$ 加法且保左正合列。由「保有限积 + 保核 $\implies$ 保所有有限极限」，只需证这两条 ✓：

• 保核：$0 \to \ker f \xrightarrow{\ i\ } M \xrightarrow{\ f\ } N$ 是左正合列 ✓，被送到左正合列 $0 \to F(\ker f) \xrightarrow{\ Fi\ } FM \xrightarrow{\ Ff\ } FN$，这正是 $F(\ker f) \cong \ker(Ff)$ ✓；
• 保有限积：$0 \to M \xrightarrow{\ i_{1}\ } M \oplus N \xrightarrow{\ p_{2}\ } N$ 也是左正合列（$i_{1}$ 单、$\operatorname{im}i_{1} = \ker p_{2}$）✓，被送到左正合列 $0 \to FM \to F(M\oplus N) \to FN$；而 $F$ 加法说明 $F$ 保双积、$Fi_{1}$ 就是第一个含入 ✓，于是 $F(M \oplus N)$ 连同 $Fi_{1}, Fi_{2}$ 满足直和的三条等式（见「直和就是积」），即 $F(M\oplus N) \cong FM \oplus FN$ ✓。

两条合起来：$F$ 保有限积与核，从而保所有有限极限，即左正合 ✓。∎

⭐ 这条把「左正合」拆成两件逐项可查的事：加法（看双积）与保左正合列（看具体的列）。实际验证函子左正合时用的就是这两把尺子。