伴随函子都加法

说明

证明。 记单位 $\eta$、余单位 $\varepsilon$，则双射由 $\varphi(f) := G(f)\circ\eta_{M}$ 给出。 ① 右伴随保积：$G$ 保极限，特别保积。于是 $G(f\oplus g) = Gf \oplus Gg$（由四角刻画），而 $G(\Delta_{M}) = \Delta_{GM}$、$G(\nabla_{N}) = \nabla_{GN}$：后一条要点一下 —— $G(N\oplus N) \cong GN \times GN$ 作为积，而 $G(i_{k})$ 的两个分量是 $G(p_{l})G(i_{k}) = G(\delta_{lk}) = \delta_{lk}$，故 $G(i_{k})$ 就是双积的含入，$G(\nabla_{N})$ 满足 $G(\nabla_{N})G(i_{k}) = 1$，即余对角线 ✓。 ② $G$ 在 $\operatorname{Hom}$ 上保加法：把关键公式 $f + g = \nabla(f\oplus g)\Delta$ 作用 $G$，用 ①：

③ 双射是群同态：由 $\varphi(f) = G(f)\eta_{M}$ 与复合的双线性，

故 $\varphi$ 是群同态，从而是群同构 ✓。 ④ $F$ 也加法：把整个论证搬到 $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}, \mathcal{D}^{\mathrm{op}}$（此时伴随反向：$G^{\mathrm{op}} \dashv F^{\mathrm{op}}$，且两个范畴仍是加法范畴 —— 加法范畴的定义对 $\mathrm{op}$ 对称），得 $F^{\mathrm{op}}$ 在 $\operatorname{Hom}$ 上保加法，即 $F$ 也保加法 ✓。∎

⭐ 一句话：一旦有伴随，加法是白送的。 所以「加法范畴之间的伴随」永远可以当作加性伴随来用，$\operatorname{Hom}(FM,N) \cong \operatorname{Hom}(M,GN)$ 也就自动升级成群同构。