伴随函子

它指向谁（出边）

推出 3

• 本页 ⟹ 右伴随存在的判据推出
  伴随 $\implies$ 右伴随存在的判据

  （$\Longrightarrow$） 设 $F \dashv G$。则对每个 $Y \in \mathcal{D}$，

  $$\operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(F(-), Y) \;\cong\; \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(-, G(Y))$$

  右边是可表示函子，所以左边可表示。∎

  （$\Longleftarrow$） 设对每个 $Y$ 都能挑到一个 $G(Y) \in \mathcal{C}$ 与自然同构

  $$\alpha_{Y} : \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(F(-), Y) \longrightarrow \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(-, G(Y))$$

  只在对象层拼出 $G$ 还不够，还要在态射层给出 $G(g)$。给定 $g : Y \to Z$，考虑复合

  $$\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(-, G(Y)) \xrightarrow{\ \alpha_{Y}^{-1}\ } \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(F(-), Y) \xrightarrow{\ g \circ -\ } \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(F(-), Z) \xrightarrow{\ \alpha_{Z}\ } \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(-, G(Z))$$

  这是一条从可表示函子 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(-, G(Y))$ 到 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(-, G(Z))$ 的自然变换。由米田引理，它由唯一的态射

  $$G(g) : G(Y) \to G(Z)$$

  给出。于是 $G$ 在态射层也定义好了。

  $G$ 是函子。 把 $G$ 的定义在 $g = 1_{Y}$ 处取出来：由于 $\alpha_{Y}^{-1}(1_{Y})$ 就是恒等截面，对应的态射是 $G(1_{Y}) = 1_{G(Y)}$。再取 $g \circ h$，三段拼接与先拼后作用给出同一个自然变换，用米田引理的双射唯一性得 $G(g \circ h) = G(g) \circ G(h)$。

  $\alpha$ 是自然的。 $G$ 的定义本身就让下面的方块交换（左边取 $g \circ -$，右边取 $- \circ G(g)$）：

  $$\begin{array}{ccc} \operatorname{Hom}(F(-), Y) & \xrightarrow{\ \alpha_{Y}\ } & \operatorname{Hom}(-, G(Y)) \\ \downarrow\scriptstyle{g \circ -} & & \downarrow\scriptstyle{- \circ G(g)} \\ \operatorname{Hom}(F(-), Z) & \xrightarrow{\ \alpha_{Z}\ } & \operatorname{Hom}(-, G(Z)) \end{array}$$

  于是每个 $\alpha_{Y}$ 都是自然同构，$F \dashv G$。∎

  这条把「造右伴随」化归成「对每个 $Y$ 找一个表示对象」。米田引理在这里做了关键一步：态射层的 $G(g)$ 是从自然变换里读出来的，不用自己拼。

• 本页 ⟹ 右伴随保极限推出
  伴随 $\implies$ 右伴随保极限

  设 $F \dashv G$，$D : I \to \mathcal{D}$ 有极限。对任意 $X \in \mathcal{C}$，把伴随的同构一路用下去：

  $$\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}\bigl(X,\ G(\lim D)\bigr) \;\cong\; \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}\bigl(F(X),\ \lim D\bigr)$$

  再用 $\lim D$ 的泛性质（锥与射入极限的态射一一对应）：

  $$\operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}\bigl(F(X),\ \lim D\bigr) \;\cong\; \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}^{I}}\bigl(\Delta F(X),\ D\bigr) \;\cong\; \varprojlim_{i} \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}\bigl(F(X),\ D(i)\bigr)$$

  把最后一个同构的每一项再用一次伴随：

  $$\varprojlim_{i} \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(F(X), D(i)) \;\cong\; \varprojlim_{i} \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}\bigl(X,\ G D(i)\bigr) \;\cong\; \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}\bigl(X,\ \lim (G \circ D)\bigr)$$

  于是 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(-, G(\lim D))$ 与 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(-, \lim (G \circ D))$ 是同一个函子的两个表示；由米田引理（表示对象在同构意义下唯一），

  $$G(\lim D) \;\cong\; \lim (G \circ D)$$

  ∎。对偶地左伴随保余极限。

  整个证明只用了两样东西：伴随的同构与极限的泛性质。这就是为什么这条定理几乎不需要任何额外假设。

• 本页 ⟹ Kan 延拓的两个例子推出
  Kan 延拓 $\implies$ 余极限与右伴随都是它的特例

  (1) 取 $p : I \to \mathbf{1}$ 为到终范畴的唯一函子。则预复合 $p^{*} : \mathcal{C}^{\mathbf{1}} \to \mathcal{C}^{I}$ 就是常图函子 $\Delta$。于是

  $$\operatorname{Hom}(p_{!}D,\ G) \;\cong\; \operatorname{Hom}(D,\ G \circ p) \;=\; \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}^{I}}\bigl(D,\ \Delta G(\ast)\bigr)$$

  右边正是「$D$ 到常图 $G(\ast)$ 的余锥」的集合。由余极限的泛性质（锥函子被 $\operatorname{colim} D$ 表示），能表示这个函子的只有一个对象：

  $$(p_{!}D)(\ast) \;=\; \varinjlim_{i \in I} D(i)$$

  所以 $p_{!}D$ 存在 $\iff D$ 有余极限。∎

  (2) 取 $p = F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$、$F$ 位置的函子取恒等函子 $1_{\mathcal{C}}$。左 Kan 延拓的泛性质给出

  $$\operatorname{Hom}(F_{!}1_{\mathcal{C}},\ G) \;\cong\; \operatorname{Hom}(1_{\mathcal{C}},\ G \circ F)$$

  右边只有「$1_{\mathcal{C}}$ 到 $G \circ F$ 的全部自然变换」一个元素（取 $1_{\mathcal{C}}$ 的像即得），所以左侧 $F_{!}1_{\mathcal{C}}$ 到每个 $G$ 的态射也恰好只有一个 —— 这正是「$F_{!}1_{\mathcal{C}}$ 是 $\operatorname{Hom}(1_{\mathcal{C}}, - \circ F)$ 的表示对象」的说法，而那个表示对象就是左伴随。记 $G = F_{!}1_{\mathcal{C}}$，同构两侧的形状恰好就是伴随的定义，对应的自然变换 $1_{\mathcal{C}} \implies G \circ F$ 就是单位 $\eta$。∎

  看完这两条，前面那些定义就串成一条线了：极限与余极限是「沿到终范畴的函子」延拓，伴随是「沿函数子本身」延拓。

定义引用 29

• 伴随函子都加法 用到 本页定义引用

  命题的前提就是一对伴随函子 $F \dashv G$。

• Kan 延拓与伴随的存在性 用到 本页定义引用

  另一头是伴随的定义。

• 自由阿贝尔群层 用到 本页定义引用

  「自由」是用遗忘函子的左伴随来定义的。

• 伴随延拓到图范畴 用到 本页定义引用

  结论是伴随在函子范畴上的版本。

• 伴随的复合 用到 本页定义引用

  命题是伴随的复合律。

• 伴随双射的自然性 用到 本页定义引用

  把伴随双射的自然性写成显式等式。

• 遗忘函子的伴随 用到 本页定义引用

  一批常用伴随。

• Currying 用到 本页定义引用

  Currying 就是一对伴随。

• 有余幂则可表示函子有伴随 用到 本页定义引用

  余幂给出左伴随。

• 右伴随保极限 用到 本页定义引用

  定理的前提就是一对伴随函子 $F \dashv G$。

• Kan 延拓的两个例子 用到 本页定义引用

  (2) 说右伴随就是 $1_{\mathcal{C}}$ 沿 $F$ 的 Kan 延拓 —— 右边是一个伴随。

• 右伴随存在的判据 用到 本页定义引用

  判据说的正是「$F$ 有没有右伴随」。

• 全忠实与单位 用到 本页定义引用

  命题谈的是伴随里左（右）伴随的那个函子。

• 伴随函子定理 用到 本页定义引用

  SAFT 的结论是「$G$ 有左伴随」。

• 紧 Haus 是反射子范畴 用到 本页定义引用

  「$\mathbf{CHaus}$ 是反射子范畴」的意思就是含入函子有左伴随。

• 紧生成空间是余反射子范畴 用到 本页定义引用

  「余反射」的意思是含入函子有右伴随。

• 内射对象的判据 用到 本页定义引用

  「$\operatorname{Hom}(-, I)$ 正合」说的是这个函子保正合列 —— 与伴随性相关的那条刻画。

• 单位与余单位 用到 本页定义引用

  单位与余单位是把伴随的同构 $\Phi$ 在两个恒等态射上取值得到的，先有伴随才有它们。

• 反射子范畴 用到 本页定义引用

  反射的定义就是「含入函子有左伴随」。

• Kan 延拓 用到 本页定义引用

  左 Kan 延拓的定义就是「$p_{!}$ 是预复合函子的左伴随」—— 一个伴随同构。

• 拓扑斯的态射 用到 本页定义引用

  $f^{$} \dashv f_{} 是一个伴随对。

• CHaus 是预拓扑斯 用到 本页定义引用

  极限与余极限的算法来自「$\mathbf{CHaus}$ 是反射子范畴」，即含入函子有左伴随。

• 阿贝尔层的张量积 用到 本页定义引用

  $\otimes_{\mathbb{Z}}$ 与 $\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}$ 互为伴随。

• 紧生成空间是余反射子范畴 用到 本页定义引用

  「余反射」= 含入函子有右伴随。

• CG 的指数伴随 用到 本页定义引用

  结论说的是「左伴随于」。

• site 的态射 用到 本页定义引用

  等价形式是 $f^{-1}$ 有右伴随 $f_{*}$。

• 交换化 用到 本页定义引用

  结论是「$\mathbf{Ab} \hookrightarrow \mathbf{Grp}$ 的左伴随」。

• 左伴随唯一 用到 本页定义引用

  命题说的是伴随的唯一性。

• 余单位与忠实性 用到 本页定义引用

  前提是 $F \dashv G$。

谁指向它（入边）

定义引用 3

• 函子 → 本页定义引用

  伴随是两个函子之间的关系，两边各放一个方向。

• 范畴 → 本页定义引用

  $\operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(F(X), Y)$ 与 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, G(Y))$ 是对两个范畴取的 Hom 集。

• 映射 → 本页定义引用

  伴随的同构逐对对象给一个双射，其底层是函数。