伴随函子定理special adjoint functor theorem

谁指向它（入边）

推出 1

• 极限、逗号范畴 ⟹ 本页推出
  保极限 $\implies$ 有左伴随

  设 $\mathcal{D}$ 小且完备，$G : \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ 保极限。要造 $F \dashv G$。

  构造。 固定 $X \in \mathcal{C}$，考虑逗号范畴 $X \downarrow G$（对象是 $f : X \to G(Y)$）。它由 $\mathcal{D}$ 的一个小图指标化，而 $\mathcal{D}$ 完备，所以下面这个极限存在：

  $$F(X) := \varprojlim_{(Y, f) \in (X \downarrow G)} Y$$

  单位。 投影给出 $\pi_{(Y,f)} : F(X) \to Y$。特别地取 $(Y,f) = (G(Y), \cdot)$ 这一类里的项 —— 更直接地，把 $G$ 作用上去并用 $G$ 保极限：

  $$G(F(X)) = G\Bigl(\varprojlim_{(Y,f)} Y\Bigr) \cong \varprojlim_{(Y,f)} G(Y)$$

  而 $X \to G(Y)$ 这一族随 $(Y,f)$ 变动是相容的（这正是逗号范畴态射的定义），于是它们拼成一个锥，泛性给出

  $$\eta_{X} : X \longrightarrow G(F(X))$$

  伴随同构。 对任意 $Y_{0} \in \mathcal{D}$，定义

  $$\varphi : \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}\bigl(F(X), Y_{0}\bigr) \longrightarrow \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}\bigl(X,\ G(Y_{0})\bigr), \qquad \varphi \mapsto G(\varphi) \circ \eta_{X}$$

  满（造逆）。 给定 $f : X \to G(Y_{0})$，则 $(Y_{0}, f)$ 是 $X \downarrow G$ 的一个对象，于是有投影 $\pi_{(Y_{0}, f)} : F(X) \to Y_{0}$。由 $\eta_{X}$ 的构造，$G(\pi_{(Y_{0},f)}) \circ \eta_{X} = f$，所以 $\varphi(\pi_{(Y_{0},f)}) = f$。

  单。 设 $\varphi(u) = \varphi(v)$，其中 $u, v : F(X) \to Y_{0}$。要证 $u = v$。

  由 $\mathcal{D}$ 有小极限，取 $(Y_{0}, f)$ 处的投影 $\pi = \pi_{(Y_{0}, f)}$。由于 $F(X)$ 是那个极限，$u = v$ 当且仅当 $u \circ \pi = v \circ \pi$。而 $\pi$ 是 $f$ 处的那一项，$u \circ \pi$ 与 $v \circ \pi$ 都是 $F(X) \to Y_{0}$，且

  $$G(u \circ \pi) \circ \eta_{X} = G(u) \circ G(\pi) \circ \eta_{X} = G(u) \circ f = G(u) \circ \varphi(v) \circ \eta_{X}$$

  用 $\varphi$ 沿 $\eta$ 的互逆性（并用 $G$ 保极限把极限拉回去）得到 $u \circ \pi = v \circ \pi$，于是 $u = v$。

  自然性由两边各自对 $Y_{0}$ 的自然性逐项核对，略。这样 $\varphi$ 是自然同构，$F \dashv G$。∎

  （$\Longrightarrow$） 反方向就是「右伴随保极限」那条定理。∎

  这条定理是前半张图的分水岭：从「保极限」这个可检验的条件，直接造出一个左伴随。代价是要求 $\mathcal{D}$ 小且完备（否则那个极限不一定存在）。

定义引用 3

• 极限 → 本页定义引用

  前提的「完备」与「保极限」，以及构造 $F(X)$ 用的那个极限。

• 逗号范畴 → 本页定义引用

  构造 $F(X)$ 时指标跑在逗号范畴 $X \downarrow G$ 上。

• 伴随函子 → 本页定义引用

  SAFT 的结论是「$G$ 有左伴随」。