有余幂则可表示函子有伴随

命题：C\mathcal{C} 有余幂   ⟹  \implies X(I)⊣hXX^{(I)} \dashv h_{X}

prop.copowers-give-adjoint · 命题 · 余幂 · 可表示函子 · 伴随

又称Exercise 1.62

陈述

若小范畴 C\mathcal{C} 有余幂，则每个可表示函子 hXh_{X} 都有左伴随：Set→C, I↦X(I)\mathbf{Set} \to \mathcal{C},\ I \mapsto X^{(I)} ⊣\dashv hX=Hom⁡C(X,−)h_{X} = \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, -)。

说明

证明。 余幂的泛性质给出 Hom⁡C(X(I),Y)≅Hom⁡Set(I,Hom⁡C(X,Y))=Set(I,hX(Y))\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}\bigl(X^{(I)}, Y\bigr) \cong \operatorname{Hom}_{\mathbf{Set}}\bigl(I, \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y)\bigr) = \mathbf{Set}\bigl(I, h_{X}(Y)\bigr) ✓，正是伴随的定义 ✓。∎

谁指向它（入边）

定义引用 1

参考

同一星团的其他概念 27 个

继续

在星图里打开「有余幂则可表示函子有伴随」　·　 全部 709 个概念　·　 Markdown 原文　·　 读图指南与记号表