全忠实与单位

谁指向它（入边）

推出 1

• 单位与余单位、忠实 / 满 / 全忠实 ⟹ 本页推出
  单位同构 $\implies$ 左伴随全忠实

  设 $F \dashv G$。对 $X, Y \in \mathcal{C}$，串起伴随的同构：

  $$\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y) \xrightarrow{\ F\ } \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}\bigl(F(X), F(Y)\bigr) \xrightarrow{\ \Phi_{X, F(Y)}\ } \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}\bigl(X, G F(Y)\bigr)$$

  第二个箭头是双射，且复合把 $f$ 送到 $G F(f) \circ \eta_{X}$（这是 $\Phi$ 的显式公式）。所以第一个箭头（即 $F$ 在 Hom 集上的作用）是双射当且仅当

  $$\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y) \xrightarrow{\ \eta_{X} \ \circ\, -\ } \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}\bigl(X, G F(Y)\bigr)$$

  是双射，当且仅当 $\eta_{X}$ 是同构（取 $Y$ 使 $GF(Y)$ 覆盖所需的目标即可）。

  $X$ 任意，所以 $F$ 全忠实 $\iff$ 每个 $\eta_{X}$ 是同构，即 $\eta$ 是自然同构。∎

  对偶地（把整个论证在 $\mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathcal{D}^{\mathrm{op}}$ 上重做，或直接交换 $F, G$ 与 $\eta, \varepsilon$ 的角色）得到 $G$ 全忠实 $\iff \varepsilon$ 是同构。∎

  把「函子在 Hom 集上双双是双射」这件事，换成了「一个自然变换处处可逆」—— 后者的检查量小得多。

定义引用 3

• 伴随函子 → 本页定义引用

  命题谈的是伴随里左（右）伴随的那个函子。

• 忠实 / 满 / 全忠实 → 本页定义引用

  「$F$ 全忠实」用的是忠实与满的定义。

• 单位与余单位 → 本页定义引用

  命题的另一边是「单位 $\eta$ 是同构」。