右伴随保极限

谁指向它（入边）

推出 1

• 伴随函子、极限 ⟹ 本页推出
  伴随 $\implies$ 右伴随保极限

  设 $F \dashv G$，$D : I \to \mathcal{D}$ 有极限。对任意 $X \in \mathcal{C}$，把伴随的同构一路用下去：

  $$\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}\bigl(X,\ G(\lim D)\bigr) \;\cong\; \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}\bigl(F(X),\ \lim D\bigr)$$

  再用 $\lim D$ 的泛性质（锥与射入极限的态射一一对应）：

  $$\operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}\bigl(F(X),\ \lim D\bigr) \;\cong\; \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}^{I}}\bigl(\Delta F(X),\ D\bigr) \;\cong\; \varprojlim_{i} \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}\bigl(F(X),\ D(i)\bigr)$$

  把最后一个同构的每一项再用一次伴随：

  $$\varprojlim_{i} \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(F(X), D(i)) \;\cong\; \varprojlim_{i} \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}\bigl(X,\ G D(i)\bigr) \;\cong\; \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}\bigl(X,\ \lim (G \circ D)\bigr)$$

  于是 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(-, G(\lim D))$ 与 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(-, \lim (G \circ D))$ 是同一个函子的两个表示；由米田引理（表示对象在同构意义下唯一），

  $$G(\lim D) \;\cong\; \lim (G \circ D)$$

  ∎。对偶地左伴随保余极限。

  整个证明只用了两样东西：伴随的同构与极限的泛性质。这就是为什么这条定理几乎不需要任何额外假设。

定义引用 2

• 伴随函子 → 本页定义引用

  定理的前提就是一对伴随函子 $F \dashv G$。

• 极限 → 本页定义引用

  结论是 $G(\lim D) \cong \lim (G \circ D)$ —— 两边都是极限。