反射的判据

命题：FF 是反射   ⟺  \iff 存在 αX:X→F(X)\alpha_{X} : X \to F(X)，在 C′\mathcal{C}' 上是同构

prop.reflection-criterion · 命题 · 反射子范畴 · 单位 · 全忠实

又称Exercise 1.71

陈述

设 C′\mathcal{C}' 是 C\mathcal{C} 的满子范畴、F:C→C′F : \mathcal{C} \to \mathcal{C}'。则 FF 是反射   ⟺  \iff 存在自然态射 αX:X→F(X)\alpha_{X} : X \to F(X)（X∈CX \in \mathcal{C}），且 X∈C′X \in \mathcal{C}' 时 αX\alpha_{X} 是同构。

说明

证明。 (⟹\Longrightarrow) 取单位 α=η\alpha = \eta ✓；X∈C′X \in \mathcal{C}' 时含入全忠实使 ηX\eta_{X} 是同构（三角等式逼出逆）✓。 (⟸\Longleftarrow) 由 α\alpha 的泛性，每个 X→YX \to Y（Y∈C′Y \in \mathcal{C}'）唯一地穿过 αX\alpha_{X} ✓ —— 正是反射的泛性质 ✓。∎

谁指向它（入边）

定义引用 1

参考

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