左伴随唯一

同一个右伴随的左伴随在同构意义下唯一

命题
依赖深度 layer 10
范畴论
伴随与反射

prop.left-adjoint-unique · 范畴论 · 伴随 · 唯一性

又称左伴随唯一·Exercise 1.58

陈述

若 $F_{1} \dashv G$ 且 $F_{2} \dashv G$ ，则 $F_{1} \cong F_{2}$ （对偶地：同一个左伴随的右伴随在同构意义下唯一）。

说明

证明。 设 $F_{1}\dashv G$ 、 $F_{2}\dashv G$ ，伴随同构记为 $\varphi_{1}, \varphi_{2}$ 。

对任意 $X \in \mathcal{C}$ 与 $Y \in \mathcal{D}$ ，

\operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}\bigl(F_{1}X, Y\bigr) \xrightarrow{\;\varphi_{1}\;} \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}\bigl(X, GY\bigr) \xrightarrow{\;\varphi_{2}^{-1}\;} \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}\bigl(F_{2}X, Y\bigr)

是一个与 $Y$ 自然同构 ✓。

由 Yoneda 引理，自然同构 $\operatorname{Hom}(F_{1}X, -) \cong \operatorname{Hom}(F_{2}X, -)$ 唯一地来自一个同构 $\theta_{X} : F_{1}X \to F_{2}X$ ✓。
$\theta$ 对 $X$ 自然： $\theta$ 是「用同两个伴随同构拼出来的」，而伴随同构对两个变量都自然，故 $\theta : F_{1} \to F_{2}$ 是自然同构 ✓。
同一条论证交换 $\mathcal{C}$ 与 $\mathcal{D}^{\mathrm{op}}$ 就得到右伴随的唯一性 ✓。∎

谁指向它（入边）

定义引用 1

伴随函子 → 本页定义引用

命题说的是伴随的唯一性。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.5

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