伴随双射的自然性

命题：Φ\Phi 自然的显式写法

prop.adjunction-naturality · 命题 · 伴随 · 自然性 · 单位与余单位

又称Exercise 1.55

陈述

伴随双射 ΦX,X′:Hom⁡(F(X),X′)≅Hom⁡(X,G(X′))\Phi_{X, X'} : \operatorname{Hom}\bigl(F(X), X'\bigr) \cong \operatorname{Hom}\bigl(X, G(X')\bigr) 的自然性说的是：对 g:Y→Xg : Y \to X、g′:X′→Y′g' : X' \to Y' 与 f:F(X)→X′f : F(X) \to X'，有 Φ(g′∘f∘F(g))=G(g′)∘Φ(f)∘g\Phi\bigl(g' \circ f \circ F(g)\bigr) = G(g') \circ \Phi(f) \circ g。

说明

证明。 代 Φ(f)=G(f)∘ηX\Phi(f) = G(f) \circ \eta_{X} 与 Φ−1(h)=εX′∘F(h)\Phi^{-1}(h) = \varepsilon_{X'} \circ F(h) ✓，两边都用单位与余单位的自然性即得那条等式 ✓。∎

谁指向它（入边）

定义引用 1

参考

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