Kan 延拓的两个例子

谁指向它（入边）

推出 1

• Kan 延拓、极限、伴随函子 ⟹ 本页推出
  Kan 延拓 $\implies$ 余极限与右伴随都是它的特例

  (1) 取 $p : I \to \mathbf{1}$ 为到终范畴的唯一函子。则预复合 $p^{*} : \mathcal{C}^{\mathbf{1}} \to \mathcal{C}^{I}$ 就是常图函子 $\Delta$。于是

  $$\operatorname{Hom}(p_{!}D,\ G) \;\cong\; \operatorname{Hom}(D,\ G \circ p) \;=\; \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}^{I}}\bigl(D,\ \Delta G(\ast)\bigr)$$

  右边正是「$D$ 到常图 $G(\ast)$ 的余锥」的集合。由余极限的泛性质（锥函子被 $\operatorname{colim} D$ 表示），能表示这个函子的只有一个对象：

  $$(p_{!}D)(\ast) \;=\; \varinjlim_{i \in I} D(i)$$

  所以 $p_{!}D$ 存在 $\iff D$ 有余极限。∎

  (2) 取 $p = F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$、$F$ 位置的函子取恒等函子 $1_{\mathcal{C}}$。左 Kan 延拓的泛性质给出

  $$\operatorname{Hom}(F_{!}1_{\mathcal{C}},\ G) \;\cong\; \operatorname{Hom}(1_{\mathcal{C}},\ G \circ F)$$

  右边只有「$1_{\mathcal{C}}$ 到 $G \circ F$ 的全部自然变换」一个元素（取 $1_{\mathcal{C}}$ 的像即得），所以左侧 $F_{!}1_{\mathcal{C}}$ 到每个 $G$ 的态射也恰好只有一个 —— 这正是「$F_{!}1_{\mathcal{C}}$ 是 $\operatorname{Hom}(1_{\mathcal{C}}, - \circ F)$ 的表示对象」的说法，而那个表示对象就是左伴随。记 $G = F_{!}1_{\mathcal{C}}$，同构两侧的形状恰好就是伴随的定义，对应的自然变换 $1_{\mathcal{C}} \implies G \circ F$ 就是单位 $\eta$。∎

  看完这两条，前面那些定义就串成一条线了：极限与余极限是「沿到终范畴的函子」延拓，伴随是「沿函数子本身」延拓。

定义引用 3

• Kan 延拓 → 本页定义引用

  两个例子说的都是「某个东西等于一个左 Kan 延拓」。

• 伴随函子 → 本页定义引用

  (2) 说右伴随就是 $1_{\mathcal{C}}$ 沿 $F$ 的 Kan 延拓 —— 右边是一个伴随。

• 极限 → 本页定义引用

  (1) 说余极限是沿 $I \to \mathbf{1}$ 的 Kan 延拓。