极限即伴随

极限 $\iff$ 常图函子有伴随

prop.limit-adjoint · 范畴论 · 极限 · 伴随

又称极限即伴随·常图函子的伴随·Proposition 1.5.4·Prop 1.5.4

陈述

$\mathcal{C}$ 中所有以 $I$ 为索引的极限存在 $\iff$ 常图函子 $\Delta : \mathcal{C} \to \mathcal{C}^{I}$ 有右伴随，且该右伴随由

D \mapsto \lim D

给出。对偶地，所有以 $I$ 为索引的余极限存在 $\iff$ $\Delta$ 有左伴随，由 $D \mapsto \operatorname{colim} D$ 给出。

证明就是极限的定义本身：

\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}^{I}}(\Delta X, D) \;\cong\; \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, \lim D)

左边正是「锥」的集合，右边是「射入极限的态射」的集合。逐字对照伴随的定义，两边是同一句话。

所以「这个范畴有没有极限」问的就是「 $\Delta$ 有没有伴」—— 后面凡是要造伴随，几乎都能化归成造某种极限。

极限 → 本页定义引用

命题把「所有极限存在」与「 $\Delta$ 有右伴随」说成一回事。
图与交换图 → 本页定义引用

命题里的 $\Delta : \mathcal{C} \to \mathcal{C}^{I}$ 是常图函子， $\mathcal{C}^{I}$ 是图范畴。