滤过余极限正合filtered colimits are exact

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ site 的层范畴的好性质推出
  逐点继承 $\mathbf{Set}$ 的性质

  几条性质在 $\mathbf{Set}$ 里都是熟知的：余积就是不交并（万有）、满射就是像的商（正则）、滤过余极限与有限极限交换。

  关键是把 $\mathbf{Set}$ 的性质搬到层范畴。做法分两步：先在预层范畴 $\widehat{\mathcal{C}}$ 里验证（预层范畴是函子范畴，一切逐点定义，因而逐点继承 $\mathbf{Set}$ 的性质），再用层化把结论送回层范畴。

  而层化保有限极限与余极限（上一条定理的推论 2），所以「先算再层化」与「层化后再算」一致，性质就跟着过来了。

  第 3 条具体证一下（其余同法）。设 $F \to G$ 是层范畴里的满态射。取它在层范畴中的满-单分解 $F \to I \rightarrowtail G$。对该分解层化（层上的层化是恒等），并用满态射的右可消性得 $I \to G$ 既满又单，于是是同构（前一条命题），所以 $I \cong G$ 落在 $F$ 的像里。

  再由「满态射的局部判据」，$F \to G$ 是满的当且仅当局部有原像；把这个局部条件写成 $F \to G$ 的核对 $F \times_{G} F \rightrightarrows F$，就得到 $F \to G$ 是这对投影的余等化子 —— 即正则满。∎

  整条证明的模子是：先在函子范畴里逐点做，再用层化运回来。这就是为什么前面要花力气把「滤过余极限正合」「层化保有限极限」立起来。

定义引用 1

• Grothendieck 的 AB 公理 用到 本页定义引用

  AB5、AB6 的差别全在滤过余极限上：前者要它正合，后者还要它与积交换。

谁指向它（入边）

定义引用 2

• 极限 → 本页定义引用

  「正合」说的是滤过余极限保持有限极限。

• 图与交换图 → 本页定义引用

  余极限函子 $\varinjlim : \mathbf{Set}^{I} \to \mathbf{Set}$ 的定义域是图范畴。