伴随的复合

命题： $F_{1} \dashv G_{1}$ 、 $F_{2} \dashv G_{2}$ $\implies$ $F_{2}F_{1} \dashv G_{1}G_{2}$

命题
依赖深度 layer 10
范畴论
伴随与反射

prop.adjunction-composition · 命题 · 伴随 · 复合

又称Exercise 1.59

陈述

若 $F_{1} \dashv G_{1}$ （ $\mathcal{C} \to \mathcal{D}$ ）与 $F_{2} \dashv G_{2}$ （ $\mathcal{D} \to \mathcal{E}$ ），则

F_{2} \circ F_{1} \;\dashv\; G_{1} \circ G_{2}.

说明

证明。 把两个伴随的同构串起来 ✓：对 $X \in \mathcal{C}$ 、 $Z \in \mathcal{E}$ ，

\operatorname{Hom}_{\mathcal{E}}\bigl(F_{2}F_{1}X,\ Z\bigr) \cong \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}\bigl(F_{1}X,\ G_{2}Z\bigr) \cong \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}\bigl(X,\ G_{1}G_{2}Z\bigr) ✓

两次都用伴随的定义，而这族同构关于 $X, Z$ 自然（两个自然同构的复合仍自然）✓。∎

谁指向它（入边）

定义引用 1

伴随函子 → 本页定义引用

命题是伴随的复合律。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 1.59

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