余单位与忠实性

$G$ 忠实 $\iff$ 余单位是满

命题
依赖深度 layer 11
范畴论
伴随与反射

prop.counit-epi-iff-faithful · 范畴论 · 伴随 · 余单位 · 忠实

又称余单位与忠实·Exercise 1.60

陈述

设 $F \dashv G$ ，单位 $\eta$ 、余单位 $\varepsilon$ 。则 $G$ 忠实 $\iff$ 余单位 $\varepsilon$ 是满态射（对偶地： $F$ 忠实 $\iff$ 单位是单态射）。

说明

证明。 设 $F \dashv G$ ，伴随同构 $\varphi_{Y,Z} : \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(FY, Z) \xrightarrow{\ \cong\ } \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(Y, GZ)$ ，余单位 $\varepsilon_{Y} = \varphi^{-1}(1_{GY})$ 。

关键同构：由三角恒等式，下面的方块交换（对一切 $Z$ ）：

\begin{array}{ccc} \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(Y, Z) & \xrightarrow{\ G_{Y,Z}\ } & \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(GY, GZ)\\ {\scriptstyle \operatorname{Hom}(\varepsilon_{Y}, Z)}\big\downarrow & & \big\downarrow{\scriptstyle \cong\ \varphi_{GY,Z}} \\ \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(FGY, Z) & \xrightarrow[\ \cong\ ]{} & \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(GY, GZ)\end{array}

即 $\varphi_{GY,Z}\circ\operatorname{Hom}(\varepsilon_{Y}, Z) = G_{Y,Z}$ ✓。

于是（用「 $e$ 是满态射 $\iff$ $\operatorname{Hom}(e, Z)$ 对一切 $Z$ 是单射」这条刻画）

\varepsilon_{Y}\text{ 满} \iff \forall Z:\ \operatorname{Hom}(\varepsilon_{Y},Z)\text{ 单} \iff \forall Z:\ G_{Y,Z}\text{ 单} \iff G\text{ 忠实} ✓

对偶地（把整个论证搬到 $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}, \mathcal{D}^{\mathrm{op}}$ ）得 $F$ 忠实 $\iff$ 单位 $\eta$ 是单态射 ✓。∎

谁指向它（入边）

定义引用 2

单位与余单位 → 本页定义引用

用的是单位与余单位。
伴随函子 → 本页定义引用

前提是 $F \dashv G$ 。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §1.5

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