右伴随存在的判据adjoint functor existence

谁指向它（入边）

推出 1

• 伴随函子、表示函子 ⟹ 本页推出
  伴随 $\implies$ 右伴随存在的判据

  （$\Longrightarrow$） 设 $F \dashv G$。则对每个 $Y \in \mathcal{D}$，

  $$\operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(F(-), Y) \;\cong\; \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(-, G(Y))$$

  右边是可表示函子，所以左边可表示。∎

  （$\Longleftarrow$） 设对每个 $Y$ 都能挑到一个 $G(Y) \in \mathcal{C}$ 与自然同构

  $$\alpha_{Y} : \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(F(-), Y) \longrightarrow \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(-, G(Y))$$

  只在对象层拼出 $G$ 还不够，还要在态射层给出 $G(g)$。给定 $g : Y \to Z$，考虑复合

  $$\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(-, G(Y)) \xrightarrow{\ \alpha_{Y}^{-1}\ } \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(F(-), Y) \xrightarrow{\ g \circ -\ } \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(F(-), Z) \xrightarrow{\ \alpha_{Z}\ } \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(-, G(Z))$$

  这是一条从可表示函子 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(-, G(Y))$ 到 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(-, G(Z))$ 的自然变换。由米田引理，它由唯一的态射

  $$G(g) : G(Y) \to G(Z)$$

  给出。于是 $G$ 在态射层也定义好了。

  $G$ 是函子。 把 $G$ 的定义在 $g = 1_{Y}$ 处取出来：由于 $\alpha_{Y}^{-1}(1_{Y})$ 就是恒等截面，对应的态射是 $G(1_{Y}) = 1_{G(Y)}$。再取 $g \circ h$，三段拼接与先拼后作用给出同一个自然变换，用米田引理的双射唯一性得 $G(g \circ h) = G(g) \circ G(h)$。

  $\alpha$ 是自然的。 $G$ 的定义本身就让下面的方块交换（左边取 $g \circ -$，右边取 $- \circ G(g)$）：

  $$\begin{array}{ccc} \operatorname{Hom}(F(-), Y) & \xrightarrow{\ \alpha_{Y}\ } & \operatorname{Hom}(-, G(Y)) \\ \downarrow\scriptstyle{g \circ -} & & \downarrow\scriptstyle{- \circ G(g)} \\ \operatorname{Hom}(F(-), Z) & \xrightarrow{\ \alpha_{Z}\ } & \operatorname{Hom}(-, G(Z)) \end{array}$$

  于是每个 $\alpha_{Y}$ 都是自然同构，$F \dashv G$。∎

  这条把「造右伴随」化归成「对每个 $Y$ 找一个表示对象」。米田引理在这里做了关键一步：态射层的 $G(g)$ 是从自然变换里读出来的，不用自己拼。

定义引用 2

• 表示函子 → 本页定义引用

  判据的右边说的是 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(F(-), Y)$ 可表示。

• 伴随函子 → 本页定义引用

  判据说的正是「$F$ 有没有右伴随」。