伴随延拓到图范畴

命题： $F \dashv G \implies F_{I} \dashv G_{I}$ （逐点）

命题
依赖深度 layer 14
范畴论
伴随与反射

prop.adjunction-extends-to-diagrams · 命题 · 伴随 · 图范畴 · 逐点 · 函子范畴

又称Exercise 1.63

陈述

若 $F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ 与 $G : \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ 互为伴随，则对任意指标范畴 $I$ ，逐点作用给出图范畴之间的伴随

F_{I} \dashv G_{I}, \qquad F_{I}(D) = F \circ D,\quad G_{I}(E) = G \circ E,

即 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{D}^{I}}\bigl(F \circ D,\ E\bigr) \cong \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}^{I}}\bigl(D,\ G \circ E\bigr)$ 。

说明

证明。 图范畴里的 Hom 集是逐点交出来的：给出自然变换等价于给出一族相容的态射 ✓。在每个 $i \in I$ 上用 $F \dashv G$ 得到 $\operatorname{Hom}(FD_{i}, E_{i}) \cong \operatorname{Hom}(D_{i}, GE_{i})$ ✓；这族同构与 $I$ 中的态射相容（因为原来的同构关于 $F,G$ 自然）✓，于是它们拼成两个 Hom 集之间的同构 ✓。∎

谁指向它（入边）

推出 1

有余极限时 Kan 延拓总存在 ⟹ 本页推出

Kan 延拓存在 $\implies$ 伴随延拓到图范畴

图范畴里的 Hom 是逐点交出来的 ✓，逐点上用 $F \dashv G$ 的同构，再由自然性把它们拼起来即得两个 Hom 集之间的同构 ✓，即 $F_{I} \dashv G_{I}$ ✓。∎

定义引用 1

伴随函子 → 本页定义引用

结论是伴随在函子范畴上的版本。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 1.63

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