遗忘函子的伴随

命题：自由 $\dashv$ 遗忘、层化 $\dashv$ 含入、 $k$ -化 $\dashv$ 含入

命题
依赖深度 layer 10
范畴论
伴随与反射

prop.forgetful-adjoints-examples · 命题 · 伴随 · 遗忘函子 · 含入 · 自由对象

又称Exercise 1.56

陈述

常见的一对对子：自由 $\dashv$ 遗忘（ $\mathbf{Mon}$ 、 $\mathbf{Gr}$ 、 $\mathbf{Ab}$ 、 $A\text{-}\mathbf{Mod}$ ……）、层化 $\dashv$ 含入（ $\widetilde{\mathcal{C}} \hookrightarrow \widehat{\mathcal{C}}$ ）、 $k$ -化 $\dashv$ 含入（ $k\mathbf{Top} \hookrightarrow \mathbf{Top}$ ）。一般规律：「忘掉结构 / 放宽结构」的函子是右伴随，其左伴随即「自由地补上结构」。

说明

证明。 逐例核对万能性质： $\operatorname{Hom}_{\mathbf{Mon}}(\text{自由幺半群},\ G) \cong \operatorname{Hom}_{\mathbf{Set}}(X, G)$ ✓； $\operatorname{Hom}(T^{\#}, F) \cong \operatorname{Hom}(T, F)$ ✓； $\operatorname{Hom}_{k\mathbf{Top}}(kX, Y) \cong \operatorname{Hom}_{\mathbf{Top}}(X, Y)$ ✓。∎

谁指向它（入边）

定义引用 1

伴随函子 → 本页定义引用

一批常用伴随。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 1.56

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