Currying

命题：X↦X×Y  ⊣  Z↦Set(Y,Z)X \mapsto X \times Y \;\dashv\; Z \mapsto \mathbf{Set}(Y, Z)

prop.currying · 命题 · Currying · 笛卡尔闭 · 伴随

又称Exercise 1.57

陈述

在 Set\mathbf{Set} 里 X↦X×YX \mapsto X \times Y ⊣\dashv Z↦Set(Y,Z)Z \mapsto \mathbf{Set}(Y, Z)：

说明

证明。 给 f:X×Y→Zf : X \times Y \to Z，令 f^(x)(y)=f(x,y)\widehat{f}(x)(y) = f(x, y) ✓；反过来给 gg 令 f(x,y)=g(x)(y)f(x,y) = g(x)(y) ✓ —— 两个方向互逆且自然 ✓，所以 Set(X×Y,Z)≅Set(X,Set(Y,Z))\mathbf{Set}(X \times Y, Z) \cong \mathbf{Set}\bigl(X, \mathbf{Set}(Y, Z)\bigr) ✓。Cat\mathbf{Cat}（函子范畴）与 Ab\mathbf{Ab} 里有同一套伴随 —— 这就是笛卡尔闭。∎

谁指向它（入边）

定义引用 1

参考

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