Kan 延拓与伴随的存在性

命题： $p^{-1}$ 有左伴随 $\iff$ 沿 $p$ 的 Kan 延拓都存在

命题
依赖深度 layer 11
范畴论
伴随与反射

prop.kan-extension-adjoint · 命题 · Kan 延拓 · 伴随 · 预复合函子

又称Proposition 1.5.10·Prop 1.5.10

陈述

设 $p : \mathcal{C} \to \mathcal{C}'$ 是小范畴之间的函子， $\mathcal{D}$ 是范畴。则预复合函子

p^{-1} : \operatorname{Hom}(\mathcal{C}', \mathcal{D}) \longrightarrow \operatorname{Hom}(\mathcal{C}, \mathcal{D}), \qquad G \longmapsto G \circ p

有左伴随 $p_{!}$ $\iff$ 沿 $p$ 的、取值在 $\mathcal{D}$ 中的左 Kan 延拓总存在。

对偶地： $p^{-1}$ 有右伴随 $p_{*}$ $\iff$ 右 Kan 延拓总存在。

说明

证明。 两边逐字对照即可。「 $p^{-1}$ 有左伴随 $p_{!}$ 」说的是：对每个 $F \in \operatorname{Hom}(\mathcal{C}, \mathcal{D})$ 存在 $p_{!}F \in \operatorname{Hom}(\mathcal{C}', \mathcal{D})$ 与自然同构

\operatorname{Hom}\bigl(p_{!}F,\ G\bigr) \;\cong\; \operatorname{Hom}\bigl(F,\ p^{-1}G\bigr) = \operatorname{Hom}\bigl(F,\ G \circ p\bigr).

右边的数据正是「 $F$ 沿 $p$ 的左 Kan 延拓」的定义（泛性质）✓：伴随的单位 $\eta_{F} : F \implies p_{!}F \circ p$ 就是定义里的那条 $\alpha$ ，而同构本身给出 $\alpha$ 的泛性质 ✓。所以「每个 $F$ 都有左 Kan 延拓」与「 $p^{-1}$ 有左伴随」是同一句话；对偶地把箭头反过来即得右 Kan 延拓那一条 ✓。∎

⭐ 读法：Kan 延拓不是新东西，它就是预复合函子的伴随。这一条把「到处都要用 Kan 延拓」与「到处都要用伴随」两套话合成了一套。

⚠️ 命题本身不保证存在，它只说「伴随」与「Kan 延拓」同生同死；存在性要另加条件（见「有余极限时 Kan 延拓总存在」）。

它指向谁（出边）

推出 2

本页 ⟹ 全忠实沿自身的 Kan 延拓推出

逐点公式 $\implies$ 全忠实时延拓回到自己

逐点公式给出 $(p_{!}F)(X') = \varinjlim_{p(X) \to X'} F(X)$ ✓，而单位 $F \implies p_{!}F \circ p$ 就是那条自然变换 ✓。取 $X' = p(X_{0})$ ：逗号范畴 $p \downarrow p(X_{0})$ 有终对象 $1_{p(X_{0})}$ （ $p$ 全忠实）✓，沿带终对象的范畴取余极限即取终对象处的值 ✓，故 $(p_{!}F)(p(X_{0})) \cong F(X_{0})$ ，单位是自然同构 ✓。∎
本页 ⟹ 导出函子就是 Kan 延拓推出

Kan 延拓即伴随 $\implies$ 导出函子就是 Kan 延拓

局部化 $\mathbf{K}^{+}(\mathcal{A}) \to \mathbf{D}^{+}(\mathcal{A})$ 是预复合函子的左伴随 ✓，而「先作用 $F$ 再局部化」在左正合 $F$ 下表现良好 ✓；由「Kan 延拓与伴随同生同死」与逐点公式，这个复合沿局部化的左 Kan 延拓存在且由 $RF$ 给出 ✓。∎

谁指向它（入边）

定义引用 2

Kan 延拓 → 本页定义引用

命题说的是「Kan 延拓存在」与「预复合有伴随」等价。
伴随函子 → 本页定义引用

另一头是伴随的定义。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Proposition 1.5.10

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