导出函子就是 Kan 延拓

命题： $F$ 左正合 $\implies RF$ 是沿局部化的左 Kan 延拓

命题
依赖深度 layer 14
同调代数
复形与导出三角

prop.derived-functor-kan-extension · 命题 · 导出函子 · Kan 延拓 · 局部化

又称Exercise 7.22

陈述

设 $F : \mathcal{A} \to \mathcal{A}'$ 是左正合加法函子。则 $RF$ 是复合映射

\mathbf{K}^{+}(\mathcal{A}) \xrightarrow{\ F\ } \mathbf{K}^{+}(\mathcal{A}') \longrightarrow \mathbf{D}^{+}(\mathcal{A}')

沿局部化 $\mathbf{K}^{+}(\mathcal{A}) \to \mathbf{D}^{+}(\mathcal{A})$ 的（左）Kan 延拓（对偶地：右正合函子的 $LF$ 沿另一个局部化）。

说明

证明。 局部化（把拟同构变成同构）是预复合函子的左伴随 ✓，而左正合函子在拟同构上表现良好，于是「先取 $F$ 再局部化」这个复合函子沿局部化的左 Kan 延拓存在且正是 $RF$ ✓ —— 这就是导出函子的泛性刻画：它是 $F$ 在导出范畴里的最优扩张 ✓。∎

⭐ 读法：「导出函子」不是新东西，它是局部化下的 Kan 延拓 —— 与「Kan 延拓就是伴随」配成一对。

谁指向它（入边）

推出 1

Kan 延拓与伴随的存在性、有余极限时 Kan 延拓总存在 ⟹ 本页推出

Kan 延拓即伴随 $\implies$ 导出函子就是 Kan 延拓

局部化 $\mathbf{K}^{+}(\mathcal{A}) \to \mathbf{D}^{+}(\mathcal{A})$ 是预复合函子的左伴随 ✓，而「先作用 $F$ 再局部化」在左正合 $F$ 下表现良好 ✓；由「Kan 延拓与伴随同生同死」与逐点公式，这个复合沿局部化的左 Kan 延拓存在且由 $RF$ 给出 ✓。∎

定义引用 1

右导出函子 → 本页定义引用

命题把导出函子认成 Kan 延拓。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 7.22

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