内射复形：零调、拟同构与同伦

说明

证明。 1. $(\Longleftarrow)$ 同伦的映射在同调上给出同一个映射（同调函子把同伦送到相等），故 $1 = 0$ 在 $H^{n}$ 上，即 $H^{n} = 0$ ✓。 $(\Longrightarrow)$ 逐层构造收缩同伦。零调给出短正合列

（$Z^{n} = \ker d^{n}$、$Z^{n+1} = \operatorname{im} d^{n}$）。$I^{n}$ 内射，所以这条列分裂：取 $q_{n} : I^{n} \to Z^{n}$ 使 $q_{n}j_{n} = 1$、取 $s_{n} : Z^{n+1} \to I^{n}$ 使 $p_{n}s_{n} = 1$，于是

令 $s^{n} := s_{n-1}\circ q_{n} : I^{n} \to I^{n-1}$。注意 $d^{n} = j_{n+1}p_{n}$ 且 $d^{n-1} = j_{n}p_{n-1}$，于是

（用了 $p_{n-1}s_{n-1} = 1$、$q_{n+1}j_{n+1} = 1$。）这正是「$1 \sim 0$」要求的恒等式 ✓。 2. $(\Longleftarrow)$ 同伦等价显然给出拟同构（同伦的映射在同调上相等，逆映射的存在性使 $H^{n}(f)$ 可逆）✓。 $(\Longrightarrow)$ 设 $f : I^{\bullet} \to J^{\bullet}$ 是拟同构。映射锥 $M(f)^{n} = I^{n+1}\oplus J^{n}$ 仍是逐项内射、有界下方的复形 ✓，而由导出三角 $I \to J \to M(f) \to I[1]$ 与「$f$ 拟同构 $\iff$ 锥零调」，$M(f)$ 零调 ✓。对上 $M(f)$ 用第 1 条，得 $M(f)$ 同伦平凡；再由三角 $I \to J \to M(f) \to I[1]$ 与同伦平凡的锥，可以逐层把映射抬起来，得到 $g : J^{\bullet}\to I^{\bullet}$ 与同伦 $gf \sim 1$、$fg \sim 1$ ✓（这就是「三角论证」：锥的同伦平凡性正好给出同伦逆的数据）。于是 $f$ 是同伦等价 ✓。∎

⭐ 一句话：在逐项内射的复形上，「弱等价」（拟同构）与「强等价」（同伦等价）是一回事。 这正是内射消解好用的根本原因 —— 也解释了为什么导出范畴的常数构造要用 $K^{\pm}(\mathcal{I})$。