上链复形

复形（Complex）

定义
依赖深度 layer 10
同调代数
复形与导出三角

def.cochain-complex · 同调代数 · 复形 · 微分

又称复形·complex·上链复形·cochain complex·链复形·微分·Definition 7.1.1·Def 7.1.1

陈述

设 $\mathcal{C}$ 是加法范畴。 $\mathcal{C}$ 中的（长）序列是有序集 $(\mathbb{Z}, \le)$ 上的图

\cdots \longrightarrow K^{n-1} \xrightarrow{\ d^{n-1}\ } K^{n} \xrightarrow{\ d^{n}\ } K^{n+1} \longrightarrow \cdots

若对每个 $n$ 都有 $d^{n} \circ d^{n-1} = 0$ ，则称 $K$ 是一个（上）链复形， $d$ 叫微分。把箭头反向（或等价地在 $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ 里取）得链复形，记 $K_{n} := K^{-n}$ 、 $d_{n} := d^{-n}$ 。

说明

$K$ 叫下有界（ $n \ll 0$ 时 $K^{n} = 0$ ）、上有界、有界（两者兼备）。相应地记复形范畴为 $\mathcal{C}(\mathcal{C})$ ，其下有界、上有界、有界的满子范畴分别记 $\mathcal{C}^{+}(\mathcal{C})$ 、 $\mathcal{C}^{-}(\mathcal{C})$ 、 $\mathcal{C}^{b}(\mathcal{C})$ ；同伦范畴那边同样加 $+$ $-$ $b$ 。

例： $K$ 是（半）单纯对象时，令 $d^{n} := \sum_{i} (-1)^{i} d_{i}^{n}$ ，则 $K$ 成为一个链复形 —— 系数 $(-1)^{i}$ 就是让相邻两项的复合正负相消的那个符号，和经典的单纯边界算子完全一致。

它指向谁（出边）

定义引用 15

单纯对象给出链复形用到本页定义引用

结论是「得到链复形」，即微分平方为零。
范畴嵌入复形用到本页定义引用

嵌入的目标是复形范畴。
复形范畴是阿贝尔范畴用到本页定义引用

讨论的对象是复形范畴。
加法函子与复形构造交换用到本页定义引用

命题说的就是复形范畴本身。
复形范畴是加法范畴用到本页定义引用

命题说的是复形构成的那个范畴。
同伦用到本页定义引用

同伦是复形态射之间的一种关系。
映射锥用到本页定义引用

映射锥是一个复形，它的微分靠拼接造出来。
同调用到本页定义引用

同调是复形的 $\ker d^{n} / \operatorname{im} d^{n-1}$ 。
谱序列用到本页定义引用

谱序列从复形的过滤出发，逐层算它的同调。
加法 / 阿贝尔范畴用到本页定义引用

复形定义在加法范畴上，同调定义在阿贝尔范畴上。
右导出函子用到本页定义引用

求导要在复形上做（换成内射复形）。
过滤复形给出谱序列用到本页定义引用

说的是复形。
双复形用到本页定义引用

双复形就是复形的复形。
K-有界正合用到本页定义引用

说的是一条复形在某一项处的性质。
一般正合列用到本页定义引用

正合列首先是一条复形（ $d \circ d = 0$ ）。

谁指向它（入边）

定义引用 3

图与交换图 → 本页定义引用

一个（长）序列就是有序集上的图 $(\mathbb{Z}, \le) \to \mathcal{C}$ 。
函子 → 本页定义引用

序列作为图就是函子；「复形」是加上 $d \circ d = 0$ 之后的那个。
范畴 → 本页定义引用

复形定义在加法范畴 $\mathcal{C}$ 上，微分是范畴里的态射。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §7.1

常见问法 1 条

复形是什么也看复形范畴是加法范畴、同调

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