谱序列

谱序列（Spectral Sequence）

def.spectral-sequence · 同调代数 · 谱序列 · 过滤

又称谱序列·spectral sequence·第一象限谱序列·E^{p,q}_{r}·E_r 页·Definition 7.2.15

陈述

谱序列由两部分组成：

  1. 一族复形 Erp,qE^{p,q}_{r}（p,q,r∈Zp, q, r \in \mathbb{Z}，r≥r0r \ge r_{0}），微分
drp,q:Erp,q⟶Erp+r, q−r+1d^{p,q}_{r} : E^{p,q}_{r} \longrightarrow E^{p+r,\, q-r+1}_{r}

使得 Er+1p,q≅Hp,q(Er)=ker⁡drp,q/im⁡drp−r, q+r−1E^{p,q}_{r+1} \cong H^{p,q}(E_{r}) = \ker d^{p,q}_{r} / \operatorname{im} d^{p-r,\, q+r-1}_{r}；

  1. 一族带过滤的对象 HnH^{n}（n∈Zn \in \mathbb{Z}），使得对每个 p,qp, q 与所有充分大的 rr，
Gr⁡pHp+q  ≅  Erp,q\operatorname{Gr}^{p} H^{p+q} \;\cong\; E^{p,q}_{r}

仅当 p,q≥0p, q \ge 0 时 Erp,qE^{p,q}_{r} 才可能非零的，叫第一象限谱序列。

说明

从哪来：给复形 KK 一个过滤 FpKF^{p}K，同调上的过滤由

FpHn:=im⁡(Hn(FpK)→Hn(K))F^{p}H^{n} := \operatorname{im}\bigl(H^{n}(F^{p}K) \to H^{n}(K)\bigr)

继承。于是每根 HnH^{n} 上都有一串 Hn⊇⋯⊇FpHn⊇Fp+1Hn⊇⋯⊇0H^{n} \supseteq \cdots \supseteq F^{p}H^{n} \supseteq F^{p+1}H^{n} \supseteq \cdots \supseteq 0。

谱序列说的就是：对充分大的 rr，ErE_{r} 页稳定下来，恰好等于这个过滤的关联分次。所以它是「从过滤的复形一层层逼近同调」的工具 —— 直接算 HnH^{n} 太难时，就把 HnH^{n} 拆成容易算的那些碎片。

它指向谁（出边）

定义引用 9

谁指向它（入边）

定义引用 2

参考

常见问法 2 条

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