过滤复形的第一页

命题： $E^{1}_{p,q} = H^{p+q}(\operatorname{Gr}^{p}K^{\bullet})$

命题
依赖深度 layer 18
同调代数
过滤与谱序列

prop.filtered-first-page · 命题 · 谱序列 · 过滤复形 · 分次片

又称Exercise 7.31

陈述

设 $K^{\bullet}$ 是带（递降）过滤的复形， $E^{p,q}_{r}$ 是它给出的谱序列。则

E^{1}_{p,q} \;=\; H^{p+q}\bigl(\operatorname{Gr}^{p}K^{\bullet}\bigr).

说明

证明。 由 $E^{0}_{p,q} = \operatorname{Gr}^{p}K^{p+q}$ ✓，而第 $0$ 页的微分 $d_{0}$ 是过滤商上诱导的微分（也就是 $K^{\bullet}$ 的微分下到分次片上）✓；取同调即得 $E^{1}_{p,q} = H^{p+q}(\operatorname{Gr}^{p}K^{\bullet})$ ✓。∎

谁指向它（入边）

推出 1

过滤复形给出谱序列 ⟹ 本页推出

下有界过滤复形给出谱序列 $\implies$ 第一页是分次片的同调

那条定理给出 $E^{0}_{p,q} = \operatorname{Gr}^{p}K^{p+q}$ ✓，而第 $0$ 页的微分正是过滤商上诱导的微分 ✓；取同调即得 $E^{1}_{p,q} = H^{p+q}(\operatorname{Gr}^{p}K^{\bullet})$ ✓。∎

定义引用 1

过滤 → 本页定义引用

公式里的分次片就是过滤商。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 7.31

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