谱序列的退化行

命题：只有 $p = 0$ 那一行时 $E^{0,q} \cong H^{q}$

命题
依赖深度 layer 17
同调代数
过滤与谱序列

prop.spectral-degenerate-row · 命题 · 谱序列 · 第一象限 · 退化

又称Exercise 7.29

陈述

设 $E^{p,q}_{r} \implies H^{p+q}$ 是第一象限谱序列。若对某个 $r \ge 1$ 有

p \ne 0 \implies E^{p,q}_{r} = 0 \qquad (\forall q),

则对一切 $q$ ： $E^{0,q}_{r} \cong H^{q}$ 。

对偶地，若某个 $r \ge 2$ 满足 $q \ne 0 \implies E^{p,q}_{r} = 0$ （ $\forall p$ ），则对一切 $p$ ： $E^{p,0}_{r} \cong H^{p}$ 。

说明

证明。 固定 $q$ 。第一象限保证 $p < 0$ 或 $q < 0$ 的项恒为零 ✓，所以 $E^{0,q}$ 处进出它的微分都要离开 $p = 0$ 这一行或跑出第一象限，于是

E^{0,q}_{r} = E^{0,q}_{r+1} = \cdots = E^{0,q}_{\infty} ✓

而收敛到 $H^{q}$ 的过滤里， $E^{\infty}_{0,q} = \operatorname{Gr}^{0}H^{q}$ ，且 $p < 0$ 的项全为零说明 $H^{q}$ 的过滤在 $0$ 处没有更低的层，故 $\operatorname{Gr}^{0}H^{q} = H^{q}$ ✓。∎

它指向谁（出边）

推出 1

本页 ⟹ 谱序列的五项正合列推出

退化行 $\implies$ 五项正合列

第一象限里 $H^{1}$ 只由 $E^{1,0}$ 、 $E^{0,1}$ 两层拼成， $H^{2}$ 的低层是 $E^{2,0}$ ✓。把 $E^{\infty}$ 页的这几项按过滤拼回 $H^{1}$ 、 $H^{2}$ ： $0 \to E^{1,0}_{2} \to H^{1} \to E^{0,1}_{2}$ 正合用的是 $\operatorname{Gr}^{1}H^{1} = E^{\infty}_{1,0}$ ，而 $E^{0,1}_{2} \xrightarrow{d_{2}} E^{2,0}_{2}$ 的核正是活到 $E^{\infty}$ 的部分 ✓，其后 $E^{2,0}_{2} \to H^{2}$ 用的是 $\operatorname{Gr}^{2}H^{2} = E^{\infty}_{2,0}$ ✓。∎

谁指向它（入边）

定义引用 1

谱序列 → 本页定义引用

命题说的是谱序列的退化情形。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 7.29

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