双复形给出谱序列

命题：下有界双复形 $\implies$ $E^{0}_{p,q} = K^{p,q} \Longrightarrow H^{p+q}(K^{\bullet})$

prop.bicomplex-spectral · 命题 · 双复形 · 谱序列 · 全复形 · 下有界

又称Proposition 7.2.18·Prop 7.2.18·Exercise 7.32·Exercise 7.33

陈述

设 $K^{\bullet,\bullet}$ 是双复形，且在两个方向上都下有界。则存在谱序列

E^{0}_{p,q} \;=\; K^{p,q} \;\Longrightarrow\; H^{p+q}(K^{\bullet}),

其中 $K^{\bullet}$ 是全复形 $K^{n} := \bigoplus_{p+q=n} K^{p,q}$ ，微分为 $d + d'$ （带符号）。

⭐ 下一页就是「逐行算完再逐列算」：沿竖直方向取同调得

E^{1}_{p,q} \;=\; H^{q}\bigl(K^{p,\bullet}\bigr),

再沿水平方向取同调得 $E^{2}$ 页。谱序列说的就是：这两步走完的结果，最终收敛到全复形的同调 $H^{p+q}(K^{\bullet})$ ✓。

⭐ 典型用法：把「一个复形作内射消解」自然得到的双复形按这条取谱序列，就得到 Grothendieck 谱序列；按另一种过滤（先横后竖）则得到 Cartan–Eilenberg 那一套分解 ✓。

⚠️ 下有界不能省：谱序列在无界情形要额外讨论收敛（一般要用 $\varprojlim$ 的整套语言）。