过滤复形给出谱序列

说明

构造（逐页逼近的真身）。 对 $r \ge 0$ 定义两族子对象

并令 $E^{p,q}_{r} := Z^{p,q}_{r}/B^{p,q}_{r}$。逐条读：

• $r = 0$：$Z^{p,q}_{0} = F^{p}K^{p+q}$、$B^{p,q}_{0} = F^{p+1}K^{p+q}$，所以 $E^{p,q}_{0} = \operatorname{Gr}^{p}K^{p+q}$ —— 第一页就是把过滤一层层切开；
• $r = 1$：$Z^{p,q}_{1}$ 是 $\operatorname{Gr}^{p}K^{p+q}$ 里的闭上链、$B^{p,q}_{1}$ 是边界，故 $E^{p,q}_{1} = H^{p+q}(\operatorname{Gr}^{p}K^{\bullet})$；
• 一般地，$d$ 把 $Z^{p,q}_{r}$ 送进 $Z^{p+r,q-r+1}_{r}$ 并把 $B^{p,q}_{r}$ 送进 $B^{p+r,q-r+1}_{r}$，因此下降为微分 $d_{r} : E^{p,q}_{r} \to E^{p+r,q-r+1}_{r}$，而第 $r+1$ 页就是第 $r$ 页对 $d_{r}$ 取同调：$E_{r+1} = H(E_{r}, d_{r})$。
• 收敛：$r$ 增大时 $Z^{p,q}_{r}$ 递升、$B^{p,q}_{r}$ 递降；因为过滤下有界，「$d$ 跳得够远」这件事在有限步后就空了，所以每个 $(p,q)$ 上 $Z^{p,q}_{r}$ 与 $B^{p,q}_{r}$ 都稳定，极限就是 $H^{p+q}(K^{\bullet})$ 配上诱导过滤后的关联分次。∎

⭐ 读法：先把带过滤的复形「按层切碎」（取关联分次 $\operatorname{Gr}^{p}$），算出每层的同调当第一页；然后微分一页一页地把它们拼回去，收敛到原来的同调。

⚠️ 「下有界」这个条件不能省 —— 它保证上面的 $Z$、$B$ 真的会稳定（不是每个谱序列都会收敛到什么东西）。