双复形

双复形（Bicomplex）

def.bicomplex · 同调代数 · 双复形 · 复形的复形

又称双复形·bicomplex·复形的复形·Definition 7.2.17·Def 7.2.17

陈述

加法范畴里的双复形就是复形的复形：即 (Z,⪯)2(\mathbb{Z}, \preceq)^{2} 上的图 (Kp,q,dp,q,d′p,q)(K^{p,q}, d^{p,q}, d'^{p,q})，使对一切 p,qp, q

dp+1,q∘dp,q=0,d′p,q+1∘d′p,q=0,d′p+1,q∘dp,q=dp,q+1∘d′p,q.d^{p+1,q} \circ d^{p,q} = 0, \qquad d'^{p,q+1} \circ d'^{p,q} = 0, \qquad d'^{p+1,q} \circ d^{p,q} = d^{p,q+1} \circ d'^{p,q}.

说明

前两条说「每个方向各自是复形」；第三条说两个方向的微分交换（差一个符号，视约定）。

⭐ 怎么把它变成一个普通复形：取全复形 Kn:=⨁p+q=nKp,qK^{n} := \bigoplus_{p+q=n} K^{p,q}，微分 d+d′d + d'（带符号）。于是双复形的同调与「逐行算完再逐列算」的关系，正是给出谱序列的地方。

典型来源：把复形作内射消解时自然会得到双复形（Ip,qI^{p,q} 里 pp 是原复形的次数、qq 是消解的次数）。Grothendieck 谱序列就是从它来的。

它指向谁（出边）

定义引用 4

谁指向它（入边）

定义引用 1

参考

常见问法 1 条

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