正合因子让谱序列退化

命题： $F$ 正合 $\implies R^{n}G(FK) \cong R^{n}(G \circ F)(K)$

命题
依赖深度 layer 18
同调代数
过滤与谱序列

prop.derived-functor-exact-factor · 命题 · 导出函子 · 正合函子 · Grothendieck 谱序列 · 退化

又称Exercise 7.35

陈述

设 $\mathcal{A} \xrightarrow{F} \mathcal{A}' \xrightarrow{G} \mathcal{A}''$ 是加法函子，满足 Grothendieck 谱序列的条件。若 $F$ 正合，则

R^{n}G\bigl(F(K)\bigr) \;\cong\; R^{n}(G \circ F)(K);

对偶地，若 $G$ 正合，则 $G\bigl(R^{n}F(K)\bigr) \cong R^{n}(G \circ F)(K)$ 。

说明

证明。 正合函子的高次导出函子为零： $R^{q}F = 0$ （ $q > 0$ ）✓。在 Grothendieck 谱序列 $E^{p,q}_{2} = R^{p}G(R^{q}F(K)) \implies R^{p+q}(G\circ F)(K)$ 里， $E_{2}$ 页只剩下 $q = 0$ 那一行 ✓，于是谱序列退化， $R^{n}(G\circ F)(K) \cong R^{n}G(F(K))$ ✓。对偶地把 $F,G$ 互换（另一半用 $G$ 正合 $\implies$ $R^{p}G = 0$ ）✓。∎

谁指向它（入边）

推出 1

Grothendieck 谱序列 ⟹ 本页推出

Grothendieck 谱序列 $\implies$ 正合因子时退化

正合函子高次导出为零： $R^{q}F = 0$ （ $q > 0$ ）✓，于是谱序列 $E^{p,q}_{2} = R^{p}G(R^{q}F(K))$ 只剩 $q = 0$ 一行 ✓。一行谱序列处处退化， $E^{n,0}_{2} = E^{n,0}_{\infty} = \operatorname{Gr}^{n}$ ，收敛给出 $R^{n}(G \circ F)(K) \cong R^{n}G(F(K))$ ✓。对偶地把 $G$ 正合的情形照做 ✓。∎

定义引用 1

右导出函子 → 本页定义引用

命题比较两边的导出函子。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, Exercise 7.35

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