全复形还是内射消解

命题：全复形 I∙I^{\bullet} 仍是 K∙K^{\bullet} 的内射消解

prop.total-complex-injective-resolution · 命题 · 全复形 · 内射消解 · 双复形

又称Exercise 7.34

陈述

设 K∙,∙K^{\bullet,\bullet} 是下有界双复形、每项内射，且其全复形 I∙I^{\bullet} 连同增广给出 K∙K^{\bullet} 的一条消解。则 K∙→I∙K^{\bullet} \to I^{\bullet} 仍是内射消解。

说明

证明。 全复形的每一项是有限多个内射对象的直和（下有界保证每个次数上只有有限多项），直和仍是内射 ✓；而全复形与双复形同调相容：Hn(Tot⁡)≅HnH^{n}(\operatorname{Tot}) \cong H^{n}（这里用的是「下有界 + 每列是消解」的收敛性）✓，所以 K∙→I∙K^{\bullet} \to I^{\bullet} 是拟同构 ✓。∎

⭐ 这一条是 Cartan–Eilenberg 那套「双复形 →\to 全复形」的合法性依据。

谁指向它（入边）

定义引用 2

参考

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