同伦范畴

说明

等价的说法：$f : K \to L$ 是同伦等价 $\iff$ 存在 $g : L \to K$ 使 $g \circ f \sim 1_{K}$、$f \circ g \sim 1_{L}$；$K$ 同伦平凡 $\iff$ $1_{K} \sim 0_{K}$。

$\mathbf{K}(\mathcal{C})$ 是加法范畴，且 $\mathcal{C}(\mathcal{C}) \to \mathbf{K}(\mathcal{C})$ 加法；任何加法函子 $F : \mathcal{C} \to \mathcal{C}'$ 诱导 $\mathbf{K}(\mathcal{C}) \to \mathbf{K}(\mathcal{C}')$。

为什么要在同伦范畴里干活：同调函子在同伦下不变，所以先商掉同伦，剩下的信息才是同调真正看得见的。