Leray 零调性

说明

证明（截断 + 递推）。 不妨设 $K^{n} = 0$（$n < 0$）。先设 $K^{\bullet}$ 有界，记它的「丢掉第 $0$ 项」的截断为 $K'^{\bullet} := (K^{1} \to K^{2} \to \cdots)$，有复形的短正合列

由「短正合列给出导出三角」，它在 $D(\mathcal{A})$ 里给出三角；把它与 $RF$ 作用后的三角摆在一起（右边用 $R^{n}F$ 的长正合列比较），两列竖直箭头构成三角之间的态射：

• 第三列左右相等，因为 $K^{0}$ 零调：$RFK^{0} = FK^{0}$；
• 第一列由归纳假设（$K'^{\bullet}$ 更短，且每一项仍零调）是同构；
• 于是由三角的四条「五引理」（两端是同构则中间也是），中间那列也是同构，即 $RFK^{\bullet} = FK^{\bullet}$。

无界情形：把 $K^{\bullet}$ 按 $K''^{\bullet} := (K^{0} \to \cdots \to K^{n+1})$ 截出有界尾段，对 $0 \to K'^{\bullet} \to K^{\bullet} \to K''^{\bullet} \to 0$ 取两条长正合列逐项比较（$\varinjlim$ 让 $n \to \infty$），即得上一条。∎

推论（常用形式）：若 $M \to K^{\bullet}$ 是右消解、且每个 $K^{n}$ 都 $F$-零调，则 $RFM = FK^{\bullet}$，于是 $R^{n}FM = H^{n}(FK^{\bullet})$ —— 这就是为什么算 $RF$ 不一定非要用内射消解。