内射消解之间的提升

说明

证明（比较定理的标准两步）。 ① 存在性（逐层抬升）。 第 $0$ 层：$M = Z^{0}_{I} \hookrightarrow I^{0}$ 是单态射（因为 $I^{-1} = 0$），复合 $M \xrightarrow{\ f\ } N \to J^{0}$ 沿这个单态射由 $J^{0}$ 的内射性抬成 $F^{0} : I^{0} \to J^{0}$ ✓。 归纳步：设已构造 $F^{0}, \ldots, F^{n}$，且对 $k \le n$ 有 $F^{k}d^{k-1}_{I} = d^{k-1}_{J}F^{k-1}$。要构造 $F^{n+1}$ 只需在上边缘 $B^{n+1}_{I} = \operatorname{im}d^{n}_{I}$ 上定下它的取值，因为 $B^{n+1}_{I}\hookrightarrow I^{n+1}$ 是单态射。关键观察：$n \ge 1$ 时 $H^{n}(I^{\bullet}) = 0$，即 $Z^{n}_{I} = B^{n}_{I}$ —— 于是 $F^{n}$ 在 $Z^{n}_{I}$ 上的取值已经由前一层定下、且落在 $Z^{n}_{J}$ 里（$n \ge 1$ 时它等于 $d^{n-1}_{J}F^{n-1}$，$n = 0$ 时改用增广处的交换性）✓。因此 $d^{n}_{J}F^{n}$ 在 $\ker d^{n}_{I}$ 上为零，从而沿 $B^{n+1}_{I} \hookrightarrow I^{n+1}$ 分解；再用 $J^{n+1}$ 的内射性把它抬成 $F^{n+1} : I^{n+1}\to J^{n+1}$ ✓。有界下方保证这个过程在某个 $n$ 之后终止 ✓。 ② 同伦唯一性。 设 $F, G$ 都提升 $f$。差 $F - G$ 在 $H^{0}$ 上诱导 $0$，于是可以用同样的逐层抬升造同伦 $s^{n} : I^{n}\to J^{n-1}$：每一层的方程 $F^{n}-G^{n} = s^{n+1}d^{n}_{I} + d^{n-1}_{J}s^{n}$ 都是一个「沿单态射抬升」的问题，仍由 $J^{n-1}$ 的内射性解决；起点处 $F^{0}-G^{0}$ 在 $M$ 上为零，故它分解过 $I^{0}/M = B^{1}_{I}$ ✓。于是 $F \sim G$ ✓。∎

⭐ 两条合起来就是内射消解在同伦意义下唯一：$\operatorname{Hom}(M,N)$ 中的态射可以提升成复形态射、且提升在同伦意义下唯一。所以「用内射消解算右导出函子」与消解的选取无关 —— 这是 $R^{n}F$ 良定义的全部依据。