阿贝尔群的 Ext

命题： $\operatorname{Ext}^{n}_{\mathbb{Z}}(M,N) = 0$ （ $n \ge 2$ ）与 $\operatorname{Ext}^{1}(\mathbb{Z}/k,\,N) = N/kN$

命题
依赖深度 layer 17
同调代数
复形与导出三角

prop.ext-abelian-groups · 命题 · Ext · 阿贝尔群 · 自由消解

又称阿贝尔群的 Ext·Ext 只有两层·Exercise 7.25

陈述

取 $\mathcal{A} = \mathbf{Ab}$ （阿贝尔群）。则

对任意阿贝尔群 $M, N$ 与一切 $n \ge 2$ ：

\operatorname{Ext}^{n}_{\mathbb{Z}}(M,\ N) = 0, \qquad \operatorname{Ext}^{0}_{\mathbb{Z}}(M,\ N) = \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(M,\ N);

对 $k \ge 1$ ：

\operatorname{Ext}^{1}_{\mathbb{Z}}\bigl(\mathbb{Z}/k\mathbb{Z},\ N\bigr) \;\cong\; N/kN, \qquad \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}\bigl(\mathbb{Z}/k\mathbb{Z},\ N\bigr) = N[k].

（ $N[k] := \{n \in N : kn = 0\}$ 。）

说明

证明。 1. 每个阿贝尔群都有长度 2 的自由消解：取满射 $\mathbb{Z}^{(I)} \twoheadrightarrow M$ （由生成元集 $I$ 给出），它的核 $K$ 是自由阿贝尔群 $\mathbb{Z}^{(I)}$ 的子群，因而也自由（ $\mathbb{Z}$ 是主理想整环，PID 上自由模的子模仍自由 ✓）。取 $\mathbb{Z}^{(J)} \twoheadrightarrow K$ 得

0 \longrightarrow \mathbb{Z}^{(J)} \longrightarrow \mathbb{Z}^{(I)} \longrightarrow M \longrightarrow 0.

只要有一条长度 2 的消解，就可以用它算 $\operatorname{Ext}^{n}$ ：复形 $\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}^{(\bullet)}, N)$ 只在 $0$ 、 $1$ 次非零，故上同调只在 $n = 0, 1$ 次可能出现： $\operatorname{Ext}^{n}(M,N) = 0$ （ $n \ge 2$ ）✓，且 $\operatorname{Ext}^{0} = \operatorname{Hom}(M,N)$ ✓。 2. 用 $\mathbb{Z}/k$ 的标准消解

0 \longrightarrow \mathbb{Z} \xrightarrow{\ \times k\ } \mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z}/k \longrightarrow 0

作用 $\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(-, N)$ 得长正合列

0 \to \operatorname{Hom}(\mathbb{Z}/k, N) \to \operatorname{Hom}(\mathbb{Z}, N) \xrightarrow{\ (\times k)^{*}\ } \operatorname{Hom}(\mathbb{Z}, N) \to \operatorname{Ext}^{1}(\mathbb{Z}/k, N) \to \underbrace{\operatorname{Ext}^{1}(\mathbb{Z}, N)}_{=\,0} \to \cdots

其中 $\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}, N) \cong N$ 、 $(\times k)^{*}$ 就是「乘 $k$ 」这个自同态 ✓（ $\operatorname{Ext}^{1}(\mathbb{Z}, N) = 0$ 因为 $\mathbb{Z}$ 投射）。于是

\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}/k, N) = \ker(\times k) = N[k], \qquad \operatorname{Ext}^{1}(\mathbb{Z}/k, N) = \operatorname{coker}(\times k) = N/kN ✓

∎

⭐ 这两条合起来是一句话：阿贝尔群的同调代数只有两层（ $n = 0$ 与 $n = 1$ ）。所以「高次 Ext」是只有换了范畴（层、凝聚态阿贝尔群）之后才会真正出现的现象 —— 后面整套凝聚态上同调做的正是这件事。

谁指向它（入边）

定义引用 2

扩展群 Ext → 本页定义引用

命题算的就是这条定义里的扩展群 $\operatorname{Ext}^{n}$ 。
足够多投射对象 → 本页定义引用

Ab 有足够多投射（自由群），消解才存在。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §7.2

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