单纯对象给出链复形

命题：单纯对象的交替和给出微分

命题
依赖深度 layer 11
同调代数
复形与导出三角

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又称单纯对象给出链复形·交替和·Exercise 7.2

陈述

设 $K_{\bullet}$ 是加法范畴 $\mathcal{C}$ 中的（半）单纯对象，记 $K_{n} := K_{\bullet}([n])$ 、面映射 $d^{n}_{i} : K_{n} \to K_{n-1}$ （ $i = 0, \ldots, n$ ）。令

d_{n} := \sum_{i=0}^{n} (-1)^{i} d^{n}_{i} : K_{n} \longrightarrow K_{n-1}.

则 $d_{n-1} \circ d_{n} = 0$ ，于是 $K_{\bullet}$ 成为一个链复形。

说明

证明。 展开

d_{n-1}d_{n} = \sum_{j=0}^{n-1}\sum_{i=0}^{n} (-1)^{i+j} d^{n-1}_{j} d^{n}_{i}.

由单纯恒等式， $i \le j-1$ 时 $d^{n-1}_{j} d^{n}_{i} = d^{n-1}_{i} d^{n}_{j+1}$ ；因此每一对 $(i,j)$ 与 $i > j$ 的那一对 $(j, i+1)$ 给出同一项，而符号为 $(-1)^{i+j}$ 与 $(-1)^{j+i+1}$ —— 恰好相反，两两抵消 ✓。于是 $d^{2} = 0$ ✓。∎

⭐ 这是单纯方法的入口：把一个（半）单纯对象按交替和变成复形，就能用同调代数去算它的不变量。拓扑空间 $X$ 的奇异单纯集 $S_{\bullet}(X) = h_{X} \circ \Delta^{\bullet}$ 配上 $\mathbb{Z}\cdot(-)$ 给出的 $C_{\bullet}(X) := \mathbb{Z}\cdot S_{\bullet}(X)$ 就是标准例子 —— 它的同调正是奇异同调。

⚠️ 这里只需要半单纯（只要有面映射）；退化映射不进入微分（这是「正规化」的做法）。

谁指向它（入边）

定义引用 2

单纯对象 → 本页定义引用

命题的输入是（半）单纯对象，用的是单纯形范畴那套面映射。
上链复形 → 本页定义引用

结论是「得到链复形」，即微分平方为零。

参考

Le Stum, An introduction to condensed mathematics, §7.1

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